ND
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
13 tháng 4 2019
https://olm.vn/hoi-dap/detail/5617054235.html
13 tháng 4 2019
https://olm.vn/hoi-dap/detail/5617054235.html
Xem tại: Câu hỏi của Vương Hoàng Minh - Toán lớp 9 - Bất đẳng thức
KN
14 tháng 4 2020
Bất đẳng thức bị ngược dấu rồi!
Ta có: \(x+yz=x\left(x+y+z\right)+yz=\left(x+y\right)\left(z+x\right)\)
Tương tự ta có: \(y+zx=\left(x+y\right)\left(y+z\right);z+xy=\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz\)
\(\Rightarrow\text{Σ}_{cyc}\frac{x}{x+yz}=\frac{\text{Σ}_{cyc}\left[x\left(y+z\right)\right]}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{2\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)+xyz\right]}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=2+\frac{2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(\le2+\frac{2xyz}{8xyz}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)
Đẳng thức xảy ra\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
TH
1
9 tháng 9 2019
Với mọi x,y >0 có \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
=> \(1\ge4xy\) (do x+y=1) <=> \(\frac{1}{xy}\ge4\)
Lại có \(x^2+y^2\ge2xy\)
<=> \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=1\)
<=> \(x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)
Có \(x^4+y^4\ge2x^2y^2\)
<=> \(2\left(x^4+y^4\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\ge\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
<=> \(8\left(x^4+y^4\right)\ge\frac{1}{4}.4=1\)
=> \(8\left(x^4+y^4\right)+\frac{1}{xy}\ge1+4=5\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=\(\frac{1}{2}\)
\(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=1\)
9 tháng 9 2019
Cho mik hỏi sao \(\left(x^2+y^2\right)^2\)≥ \(\left(\frac{1}{2}\right)^2\) vậy bạn
24 tháng 1 2019
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\frac{x^2+y^2}{2}\)
Suy ra: \(P=6\left[\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\right]+8\left[\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(xy\right)^2\right]+\frac{5}{xy}\)
\(\ge6\left(1-\frac{3}{4}\right)+8\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\right)+\frac{5}{\frac{1}{4}}\) (Do x+y=1) \(\Rightarrow P\ge6-\frac{9}{2}+2-1+20=\frac{45}{2}\)(đpcm).
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1/2.
NA
0
HH
2
25 tháng 7 2018
\(VT=\dfrac{1}{x^2+xy}+\dfrac{1}{y^2+xy}\)
\(\ge\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}\)
\(=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}>4\)
25 tháng 7 2018
Cách khác.
Ta có: \(A=\dfrac{1}{x\left(x+y\right)}+\dfrac{1}{y\left(x+y\right)}=\dfrac{1}{x+y}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
\(=\dfrac{1}{x+y}.\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{xy}\)
Áp dụng BĐT cho các số x,y >0 , ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\ge xy\)
Và x+y \(\le\)1 \(\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\) \(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}=4\)
Dấu ''='' xảy ra khi x = y =0,5
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 10 2021
Chứng minh bằng phép biến đổi tương đương:
1.
\(\Leftrightarrow4+x+y\ge4\sqrt{x+y}\)
\(\Leftrightarrow x+y-4\sqrt{x+y}+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+y}-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
2.
\(\Leftrightarrow\dfrac{y+z}{xyz}\ge\dfrac{4}{x^2+yz}\)
\(\Leftrightarrow\left(y+z\right)\left(x^2+yz\right)\ge4xyz\)
\(\Leftrightarrow x^2y+x^2z+y^2z+z^2y-4xyz\ge0\)
\(\Leftrightarrow y\left(x^2+z^2-2xz\right)+z\left(x^2+y^2-2xy\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow y\left(x-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)
NA
7
6 tháng 7 2016
Áp Dụng Cosi 3 số Ta phân tích B thành :
\(B=\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{1}{2}+\frac{y^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1+y}{4}-\frac{1+x}{4}-1\)
\(=\left(\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{y^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1+y}{4}+\frac{1+x}{4}\right)-1\)
Ta có
\(\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{1+y}.\frac{1+y}{4}.\frac{1}{2}}=\frac{3x}{2}\)
\(\frac{y^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{y^3}{1+x}.\frac{1+x}{4}.\frac{1}{2}}=\frac{3y}{2}\)
\(\Rightarrow B=\left(\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{y^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1+y}{4}+\frac{1+x}{4}\right)-1\ge\)
\(\frac{3y}{2}+\frac{3x}{2}-\left(\frac{1+y}{4}+\frac{1+x}{4}\right)-1=\frac{3y+3x}{2}-\frac{1+y+1+x}{4}-1=\frac{6x+6y-1-y-1-x}{4}\)
\(=\frac{5y+5x-2}{4}-1\)
Ta có
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
mà xy=1
\(\Rightarrow x+y\ge2\)
\(\Rightarrow5\left(x+y\right)\ge10\)
\(\Rightarrow5x+5y-2\ge8\)
\(\Rightarrow\frac{5x+5y-2}{4}\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{5x+5y-2}{4}-1\ge1\)
Mà \(B\ge\frac{5x+5y-2}{4}-1\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{5x+5y-2}{4}-1\ge1\Rightarrow B\ge1\left(dpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt nha
T I C K nha
PC
6 tháng 7 2016
(x^3)/(1+y)=(x^3)/(1+y)+(1+y)/4+1/2-(1+y)/4-1/2
Áp dụng bất đẳng thức Cosy cho 3 số:(x^3)/(1+y) (1+y)/4 và 1/2 ta có
(x^3)/(1+y) +(1+y)/4 +1/2 \(\ge3\sqrt[3]{\left(\frac{x^3}{4\cdot2}\right)}=\frac{3}{2}\cdot x\)
CMTT ta có B>=3/2*(x+y)-(1+y+1+x)/4-1=3/2*(x+y)-(2+x+y)/4-1
ta có x+y>=\(2\sqrt{xy}\)=2
~>B>=3/2*2-1-1=1~> ĐPCM
Áp dụng các bất đẳng thức sau (tự chứng minh)
\(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
được \(8\left(x^4+y^4\right)\ge8\left[\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}\right]=4\left(x^2+y^2\right)^2\ge4\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\right]^2=1\)
Lại có: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow1\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{xy}\ge4\)
Cộng 2 vế của 2 bđt trên lại ta đc đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1/2
Vậy .....