K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

27 tháng 1 2019

A B C H P M O N K E F S T F' I

a) Xét \(\Delta\)ABC: Trực tâm H => ^BAC + ^BHC = 1800. Tương tự: ^BPC + ^BMC = 1800

Suy ra: ^BAC + ^BHC = ^BPC + ^BMC. Ta có: ^BHC = ^BMC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

=> ^BAC = ^BPC => Tứ giác ABCP nội tiếp => P nằm trên (ABC) hay P thuộc (O) (đpcm)

b)  Gọi AO cắt BC tại F'. Ta đi chứng minh F trùng F'. Thật vậy:

Gọi 2 đường cao của tam giác ABC là BT và CS. ST cắt AH tại I.

Tứ giác BSTC nội tiếp => ^ATS = ^ABC => ^ATI = ^ABF'. Dễ thấy: ^TAI = ^BAF'

Suy ra: ^AF'B = ^AIT. Mà HE // AF', ^AIT = ^HIS nên ^HEB = ^HIS => \(\Delta\)HBE ~ \(\Delta\)HSI (g.g)

=> \(\frac{BE}{SI}=\frac{HB}{HS}=\frac{BC}{ST}=\frac{AC}{AS}\). Ta cũng có: \(\Delta\)AF'C ~ \(\Delta\)AIS (g.g) => \(\frac{CF'}{SI}=\frac{AC}{AS}\)

Do đó: \(\frac{BE}{SI}=\frac{CF'}{SI}\)=> BE = CF' . Mà BE = CF nên CF = CF' => F trùng F' => A,F,O thẳng hàng (đpcm).

c) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)BHC. Dễ thấy O đối xứng với K qua BC => CO=OP=CK (1)

Ta có: Hai đường tròn (N) và (K) có 2 điểm chung là B và M => KN vuông góc BM, kết hợp OK vuông góc BC

=> ^OKN = ^MBC (2 góc có 2 cạnh tương ứng vuông góc). Tương tự thì ^ONK = ^MBA

Mà ^MBC = ^MBA (Do BM là phân giác ^ABC) nên ^OKN = ^ONK => \(\Delta\)NOK cân tại O

Suy ra O nằm trên trung trực của NK và CP (Vì OP=OC)

Mặt khác: NK vuông góc BM. BM lại vuông góc CP (M là trực tâm \(\Delta\)BCP) => NK // CP

Từ đó: Trung trực của NK và CP trùng nhau => Tứ giác PNKC là hình thang cân => CK = PN (2)

Từ (1),(2) => PN = PO (đpcm).

12 tháng 7 2020

a) Do P là trực tâm tam giác BMC nên M là trực tâm tam giác PBC.

Từ đó ta có \(\widehat{BPC}=180^0-\widehat{BMC}\). Do H là trực tâm tam giác ABC nên \(\widehat{BAC}=180^0-\widehat{BHC}\)

Mà ta lại có \(\widehat{BHC}=\widehat{BMC}\)do tứ giác BHMC nội tiếp.

Do đó ta được \(\widehat{BPC}=180^0-\widehat{BMC}=180^0-\widehat{BHC}=\widehat{BAC}\). Suy ra bốn điểm A,B,C,P cùng thuộc một đường tròn

Vậy P nằm trên (O) 

b) Dựng đường kính AK của đường tròn (O). Khi đó dễ dàng chứng minh được tứ giác BHCK là hình bình hành.

Xét \(\Delta BHE\)và \(\Delta CKF\)có BE = CF,\(\widehat{HBE}=\widehat{KCF}\), BH = CK nên \(\Delta BHE=\Delta CKF\left(c-g-c\right)\)

Từ đó ta được \(\widehat{KFC}=\widehat{HEB}\)suy ra HE song song với KF. Lại có AK song song với HE nên ba điểm A, F, K thẳng hàng.

Vậy ba điểm A, F, O thẳng hàng (đpcm)

c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC. Ta có \(\Delta BHC=\Delta CKB\) nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BKB. Từ đó ta suy ra được OB = OC = IB = IC. Chú ý rằng ON là đường trung trực của AB và OI là đường trung trực của BC, IN là đường trung trực của BM nên ta suy ra được \(\widehat{ONI}=\widehat{ABM}\)và \(\widehat{OIN}=\widehat{MBC}\)

Từ đó dẫn đến \(\widehat{ABM}=\widehat{MBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}\)nên \(\widehat{OIN}=\widehat{ONI}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}\)hay tam giác OIN cân tại O, đồng thời ta có \(\widehat{NOI}=180^0-2\widehat{NIO}=180^0-\widehat{ABC}\)

Lại có \(\widehat{POB}=2\widehat{PCB}=2\left(90^0-\widehat{MBC}\right)=180^0-2\widehat{MBC}=180^0-\widehat{ABC}\)

Từ đó ta được \(\widehat{NOI}=\widehat{POB}\)nên suy ra \(\widehat{NOP}=\widehat{IOB}\)

Hai tam giác OBI và OPN có \(OI=ON,\widehat{NOP}=\widehat{IOB},OB=ON\)nên \(\Delta OBI=\Delta POB\)

Mà tam giác OBO cân tại B nên tam giác OPN cân tại P. Từ đó suy ra PN = PO

30 tháng 3 2022
Ai giúp em với😢
17 tháng 3 2019

a, HCDB là hbh (gt)
-> CH // BD; HB // CD
Vì H là trực tâm của Δ ABC (gt)
-> CH vuông với AB ; BH vuông với AC ; AH vuông với BC
-> AB vuông BD ; AC vuông CD
-> ^ABD=90*, ^ ACD=90*
Xét tứ giác ABCD có: ^ABD + ^ ACD = 180*
-> tứ giác ABCD nội tiếp
-> A, B, C, D cùng thuộc 1 đường tròn (1)
DE // BC (gt)
->AH vuông DE ( vì AH vuông BC )
-> ^AED = 90*
Xét tứ giác ABED có ^AED=^ABD=90*
-> B và E cùng nhìn AD dưới 1 góc 90*
-> ABED nội tiếp
-> A,B,E,D cùng thuộc 1 đường tròn (2)
Từ (1) và (2) -> A,B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn

17 tháng 3 2019

b) ABEDC nội tiếp
-> ^BAE = ^BDE (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BE)
Và ^DAC = ^DBC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CD)
Mà ^DBC = ^BDE (2 góc sole trong)
-> ^BAE = ^CAD

10 tháng 6 2019

Em không vẽ được hình, xin thông cảm

a, Ta có góc EAN=  cungEN=cung EC+ cung EN

Mà cung EC= cung EB(E là điểm chính giữa cung BC)

=> góc EAN=cungEB+ cung EN=góc DFE (tính chất góc ở giữa)

=> tam giác AEN đồng dạng tam giác FED

Vậy tam giác AEN đồng dạng tam giác FED

b,Ta có EC=EB=EM

Tam giác EMC cân tại E => EMC=ECM

 MÀ EMC+AME=180, ECM+ABE=180

=> AME = ABE

=> tam giác ABE= tam giác AME

=> AB=AM => tam giác ABM cân tại A

Mà AE là phân giác => AE vuông góc BM

CMTT => AC vuông góc EN

MÀ AC giao BM tại M

=> M là trực tâm tam giác AEN

Vậy M là trực tâm tam giác AEN

c,  Gọi H là giao điểm OE với đường tròn (O) (H khác E) => O là trung điểm của EH

Vì M là trực tâm của tam giác AEN

=> \(EN\perp AN\)

Mà \(OI\perp AN\)(vì I là trung điểm của AC)

=> \(EN//OI\)

MÀ O là trung điểm của EH

=> I là trung điểm của MH (đường trung bình trong tam giác )

=> tứ giác AMNH là hình bình hành 

=> AH=MN

Mà MN=NC

=> AH=NC

=> cung AH= cung NC

=> cung AH + cung KC= cung KN

Mà cung AH+ cung KC = góc KMC(tính chất góc ở giữa 2 cung )

NBK là góc nội tiếp chắn cung KN

=> gócKMC=gócKBN

Hay gócKMC=gócKBM

=> CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK( ĐPCM)

Vậy CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK

10 tháng 6 2019

Anh Khang nè,e cung cấp hình nha:3

21 tháng 5 2018

a, HCDB là hbh (gt)
-> CH // BD; HB // CD
Vì H là trực tâm của Δ ABC (gt)
-> CH vuông với AB ; BH vuông với AC ; AH vuông với BC
-> AB vuông BD ; AC vuông CD
-> ^ABD=90*, ^ ACD=90*
Xét tứ giác ABCD có: ^ABD + ^ ACD = 180*
-> tứ giác ABCD nội tiếp
-> A, B, C, D cùng thuộc 1 đường tròn (1)
DE // BC (gt)
->AH vuông DE ( vì AH vuông BC )
-> ^AED = 90*
Xét tứ giác ABED có ^AED=^ABD=90*
-> B và E cùng nhìn AD dưới 1 góc 90*
-> ABED nội tiếp
-> A,B,E,D cùng thuộc 1 đường tròn (2)
Từ (1) và (2) -> A,B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn
 b) ABEDC nội tiếp
-> ^BAE = ^BDE (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BE)
Và ^DAC = ^DBC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CD)
Mà ^DBC = ^BDE (2 góc sole trong)
-> ^BAE = ^CAD