K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

22 tháng 3 2019

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}=x\\\sqrt{b}=y\end{matrix}\right.\)

\(bdt\Leftrightarrow x\left(\frac{x}{y}-1\right)\ge y\left(1-\frac{y}{x}\right)\Leftrightarrow\frac{x^2}{y}-x\ge y-\frac{y^2}{x}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}-x-y\ge0\)

bđt này hiển nhiên đúng theo Cauchy-Schwarz:

\(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\Rightarrow\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}-x-y\ge0\)

\("="\Leftrightarrow x=y\Rightarrow a=b\)

23 tháng 3 2019

Bất đẳng thức đó đâu phải Cauchy-Schwarz, đó là bất đẳng thức Svac-sơ mà -.-

AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 11 2019

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)\leq \left(\frac{a+1+a^2-a+1}{2}\right)^2=\left(\frac{a^2+2}{2}\right)^2\)

\(b^3+1\leq \left(\frac{b^2+2}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{(a^3+1)(b^3+1)}\leq \frac{(a^2+2)(b^2+2)}{4}\)

\(\Rightarrow \frac{a^2}{\sqrt{(a^3+1)(b^3+1)}}\geq \frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại:

\(\Rightarrow \text{VT}\geq \underbrace{\frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}+\frac{4b^2}{(b^2+2)(c^2+2)}+\frac{4c^2}{(c^2+2)(a^2+2)}}_{M}\)

Ta cần CM \(M\geq \frac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow \frac{a^2(c^2+2)+b^2(a^2+2)+c^2(b^2+2)}{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)}\geq \frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+6(a^2+b^2+c^2)\geq (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\)

\(\Leftrightarrow 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+6(a^2+b^2+c^2)\geq (abc)^2+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+4(a^2+b^2+c^2)+8\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2(a^2+b^2+c^2)\geq 72\)

Điều này luôn đúng do theo BĐT AM-GM thì: \(\left\{\begin{matrix} a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq 3\sqrt[3]{(abc)^4}=3\sqrt[3]{8^4}=48\\ 2(a^2+b^2+c^2)\geq 6\sqrt[3]{(abc)^2}=6\sqrt[3]{8^2}=24\end{matrix}\right.\)

Do đó ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$

6 tháng 6 2017

xài mincopski thử, tui ăn cơm đã

7 tháng 6 2017

#: Lỡ hẹn với Mincopxki rồi xài cách khác vậy :(

Đặt \(a=\frac{2x}{3};b=\frac{2y}{3};c=\frac{2z}{3}\)

Khi đó ta có \(xy+yz+xz\ge3\) và cần chứng minh

\(Σ_{cyc}\sqrt{\frac{4x^2}{9}+\frac{9}{\left(2y+3\right)^2}}\ge\frac{\sqrt{181}}{5}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:\(Σ_{cyc}\sqrt{\frac{4x^2}{9}+\frac{9}{\left(2y+3\right)^2}}\)

\(=\frac{15}{\sqrt{181}}Σ_{cyc}\sqrt{\left(\frac{4}{9}+\frac{9}{25}\right)\left(\frac{4x^2}{9}+\frac{9}{\left(2y+3\right)^2}\right)}\ge\frac{15}{\sqrt{181}}Σ_{cyc}\left(\frac{4x}{9}+\frac{9}{5\left(2y+3\right)}\right)\)

Giờ chỉ cần chứng minh \(\frac{15}{\sqrt{181}}Σ_{cyc}\left(\frac{4x}{9}+\frac{9}{5\left(2y+3\right)}\right)\ge\frac{\sqrt{181}}{5}\)

\(\Leftrightarrow20\left(x+y+z\right)+81\left(\frac{1}{2x+3}+\frac{1}{2y+3}+\frac{1}{2z+3}\right)\ge\frac{543}{5}\)

Đặt tiếp \(x+y+z=3u;xy+yz+xz=3v^2\left(v>0\right)\)

Vì thế \(u\ge v\ge1\)và áp dụng BĐT C-S dạng Engel ta có:

\(20\left(x+y+z\right)+81\left(\frac{1}{2x+3}+\frac{1}{2y+3}+\frac{1}{2z+3}\right)-\frac{543}{5}\)

\(\ge20\left(x+y+z\right)+81\cdot\frac{\left(1+1+1\right)^2}{Σ_{cyc}\left(2x+3\right)}-\frac{543}{5}=60u+\frac{729}{6u+9}-\frac{543}{5}\)

\(=3\left(20u+\frac{81}{2u+3}-\frac{181}{5}\right)=\frac{6\left(u-1\right)\left(100u+69\right)}{5\left(2u+3\right)}\ge0\) 

Điều này đúng tức là ta có ĐPCM

14 tháng 12 2016

\(\frac{\left(a+b\right).2}{\sqrt{a.4.\left(3a+b\right)}+\sqrt{b.4.\left(3b+a\right)}}\)\(\ge\)\(\frac{2.\left(a+b\right)}{\frac{4a+3a+b}{2}+\frac{4b+3b+a}{2}}\)\(=\frac{4\left(a+b\right)}{8\left(a+b\right)}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b