Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)
Đặt AB=AC=a (không đổi); BD=AE=b (0<x<a)
Áp dụng định lý Pi-ta go với \(\Delta ADE\) vuông tại A ta có:
\(DE^2=AD^2+AE^2=\left(a-x\right)^2+a^2=2x^2-2ax+a^2\)\(=2\left(x^2-ax\right)-a^2\)
\(=2\left(x-\frac{a^2}{4}\right)^2+\frac{a^2}{2}\ge\frac{a^2}{2}\)
Ta có DE nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\)\(DE^2\) nhỏ nhất\(\Leftrightarrow x=\frac{a}{2}\)
\(\Leftrightarrow BD=AE=\frac{a}{2}\Leftrightarrow D,E\) là trung điểm của AB;AC.
Vậy D;E phải là trung điểm của AB;AC thì DE có độ dài nhỏ nhất.
b)
Ta có:\(S_{ADE}=\frac{1}{2}.AD.AE=\frac{1}{2}.AD.BD\)\(=\frac{1}{2}AD\left(AB-AD\right)=\frac{1}{2}\left(AD^2-AB.AD\right)\)
\(=-\frac{1}{2}\left(AD^2-2\frac{AB}{2}.AD+\frac{AB^2}{4}\right)+\frac{AB^2}{8}\)\(=-\frac{1}{2}\left(AD-\frac{AB}{4}\right)^2+\frac{AB}{2}\le\frac{AB^2}{8}\)
Vậy \(S_{BDEC}=S_{ABC}-S_{ADE}\ge\frac{AB^2}{2}-\frac{AB^2}{8}=\frac{3}{8}AB^2\) không đổi.
Do đó: \(min_{S_{BDEC}}=\frac{3}{8}AB^2\) khi D;E lần lượt là trung điểm của AB;AC.
Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a)
Áp dụng định lý Pitago với \[\Delta \]ADE vuông tại A có:
DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2
= 2(x –\[\frac{{{a}^{2}}}{4}\])2 + \[\frac{{{a}^{2}}}{2}\] \[\ge \] \[\frac{{{a}^{2}}}{2}\]
Ta có DE nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ DE2 nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ x =\[\frac{a}{2}\]
$\Leftrightarrow $ BD = AE =\[\frac{a}{2}\] $\Leftrightarrow $ D, E là trung điểm AB, AC
b) Ta có: SADE =\[\frac{1}{2}\]AD.AE =\[\frac{1}{2}\]AD.BD =\[\frac{1}{2}\]AD(AB – AD)=\[\frac{1}{2}\](AD2 – AB.AD)
= –\[\frac{1}{2}\](AD2 – 2\[\frac{AB}{2}\].AD + \[\frac{A{{B}^{2}}}{4}\]) + \[\frac{A{{B}^{2}}}{8}\] = –\[\frac{1}{2}\](AD – \[\frac{AB}{4}\])2 + \[\frac{A{{B}^{2}}}{2}\] \[\le \] \[\frac{A{{B}^{2}}}{8}\]
Vậy SBDEC = SABC – SADE\[\ge \] \[\frac{A{{B}^{2}}}{2}\] – \[\frac{A{{B}^{2}}}{8}\] = \[\frac{3}{8}\] AB2 không đổi
Do đó min SBDEC =\[\frac{3}{8}\]AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC (0,25đ)
