Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có:
\(AE = EB = \frac{1}{2}AB\) (do \(E\) là trung điểm của \(AB\))
\(DF = FC = \frac{1}{2}CD\) (\(F\) là trung điểm của \(CD\))
\(AB = CD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành)
Suy ra \(AE = CF = EB = DF\)
Xét tứ giác \(AECF\) ta có:
\(AE\) // \(CF\) (do \(AB\) // \(CD\))
\(AE = CF\)
Suy ra \(AECF\) là hình bình hành
b) Vì \(AB = 2AD\) (gt) và \(AB = 2AE\) (do \(E\) là trung điểm của \(AB\))
Suy ra \(AD = AE\)
Xét tứ giác \(AEFD\) có \(AE\) // \(DF\) và \(AE = DF\) (cmt)
Suy ra \(AEFD\) là hình bình hành
Mà \(AE = AD\) (cmt)
Suy ra \(AEFD\) là hình thoi
c) Ta có \(AF \bot DE\) (do \(AEFD\) là hình thoi)
và \(AF\) // \(EC\) (\(AECF\) là hình bình hành)
Suy ra \(EC \bot DE\)
Suy ra \(\widehat {IEK} = 90^\circ \)
Vì \(AEFD\) là hình thoi nên \(EF = AE\)
Và \(AE = \frac{1}{2}AB\) (gt)
Suy ra \(EF = \frac{1}{2}AB\)
Xét \(\Delta AFB\) có \(FE\) là đường trung tuyến và \(EF = \frac{1}{2}AB\)
Suy ra \(\Delta AFB\) vuông tại \(F\)
Suy ra \(\widehat {{\rm{IFK}}} = 90\)
Xét tứ giác \(EIFK\) ta có:
\(\widehat {{\rm{EIF}}} = 90\) (do \(AF \bot DE\))
\(\widehat {{\rm{IEK}}} = 90^\circ \) (cmt)
\(\widehat {{\rm{IFK}}} = 90^\circ \) (cmt)
Suy ra \(EIFK\) là hình chữ nhật
d) \(EIFK\) là hình vuông
Suy ra \(FI = EI\)
Mà \(EI = ID = \frac{1}{2}DE\) ( do \(AEFD\) là hình thoi)
\(FI = IA = \frac{1}{2}AF\) (do \(AEFD\) là hình thoi)
Suy ra \(AF = DE\)
Mà \(AEFD\) là hình thoi
Suy ra \(AEFD\) là hình chữ nhật
Suy ra \(\widehat {{\rm{ADC}}} = 90^\circ \)
Mà \(ABCD\) là hình bình hành (gt)
Suy ra \(ABCD\) là hình chữ nhật
Vậy nếu hình bình hành \(ABCD\) là hình chữ nhật thì \(EIFK\) là hình vuông
Câu 1:
a)
\(BM=MC=\frac{1}{2}BC\) (M là trung điểm của BC)
\(AN=ND=\frac{1}{2}AD\) (N là trung điểm của AD)
mà \(BC=AD\) (ABCD là hình bình hành)
\(\Rightarrow AN=ND=BM=MC\) (1)
mà ND // BM
=> BMDN là hình bình hành
=> BN // MD (2)
=> MDKB là hình thang
b)
MC = AN (theo 1)
mà MC // AN (ABCD là hình bình hành)
=> AMCN là hình bình hành
=> AM // CN (3)
Từ (2) và (3)
=> MPNQ là hình bình hành (4)
BM = AN (theo 1)
mà BM // AN (ABCD là hình bình hành)
=> ABMN là hình bình hành
mà AB = BM \(\left(=\frac{1}{2}BC\right)\)
=> ABMN là hình thoi
=> AM _I_ BN
=> MPN = 900 (5)
Từ (4) và (5)
=> MPNQ là hình chữ nhật
c)
MPNQ là hình vuông
<=> MN là tia phân giác của PMQ
mà MN là đường trung tuyến của tam giác MDA vuông tại M (N là trung điểm của AD; MPNQ là hình chữ nhật)
=> Tam giác MDA vuông cân tại M có MN là đường trung tuyến
=> MN là đường cao của tam giác MDA
=> MNA = 900
mà MNA = ABM (ABMN là hình thoi)
=> ABM = 900
mà ABCD là hình bình hành
=> ABCD là hình chữ nhật
Câu 2:
a)
\(AE=EB=\frac{AB}{2}\) (E là trung điểm của của AB)
\(CF=FD=\frac{CD}{2}\) (F là trung điểm của của CD)
mà AB = CD (ABCD là hình bình hành)
=> AE = EB = CF = FD (1)
mà AE // CF (ABCD là hình bình hành)
=> AECF là hình bình hành
b)
AE = FD (theo 1)
mà AE // FD (ABCD là hình bình hành)
=> AEFD là hình bình hành
mà DA = AE \(\left(=\frac{1}{2}AB\right)\)
=> AEFD là hình thoi
=> AF _I_ ED
=> EMF = 900 (2)
EB = FD (theo 1)
mà EB // FD (ABCD là hình bình hành)
=> EBFD là hình bình hành
=> EM // NF
mà EN // MF (AECF là hình bình hành)
=> EMFN là hình bình hành
mà EMF = 900 (theo 2)
=> EMFN là hình chữ nhật
c)
EMFN là hình vuông
<=> EF là tia phân giác của MEN
mà EF là đường trung tuyến của tam giác ECD vuông tại E (F là trung điểm của CD; EMFN là hình chữ nhật)
=> Tam giác ECD vuông cân tại E có EF là đường trung tuyến
=> EF là đường cao của tam giác ECD
=> EFD = 900
mà EFD = DAE (AEFD là hình thoi)
=> DAE = 900
mà ABCD là hình bình hành
=> ABCD là hình chữ nhật
a: Xét tứ giác AMCN có
AM//CN
AM=CN
Do đó: AMCN là hình bình hành
Bài 2:
AK=AB/2
CI=CD/2
mà AB=CD
nên AK=CI
Xét tứ giác AKCI có
AK//CI
AK=CI
Do đó: AKCI là hình bình hành
=>AC cắt KI tại trung điểm của mỗi đường(1)
ABCD là hình bình hành
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(2)
Từ (1) và (2) suy ra AC,KI,BD đồng quy
Bài 1:
a: \(\widehat{ADE}=\widehat{EDF}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{ADC}\)
\(\widehat{ABF}=\widehat{CBF}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\)
nên \(\widehat{ADE}=\widehat{EDF}=\widehat{ABF}=\widehat{CBF}\)
Xét ΔEAD và ΔFCB có
\(\widehat{A}=\widehat{C}\)
AD=CB
\(\widehat{EDA}=\widehat{FBC}\)
Do đó: ΔEAD=ΔFCB
=>\(\widehat{AED}=\widehat{CFB}\)
=>\(\widehat{EDF}=\widehat{CFB}\)
mà hai góc này đồng vị
nên DE//BF
b: Xét tứ giác DEBF có
DE//BF
BE//DF
Do đó: DEBF là hình bình hành
