Question

[TFBOYS]

Tìm số nguyên n để n⁵ +1 chia hết cho n³+1

Answer 1

[Khánh Vy]

Theo ví dụ trên ta có:

⇒ n -1 chia hết cho n² -n +1

⇒ n(n-1)   chia hết cho n² -n +1

⇒ n² -n     chia hết cho n² -n +1

⇒ (n² -n +1) -1  chia hết cho n² -n +1

⇒ 1 chia hết cho  n² -n +1

Có hai trường hợp

n² -n +1 =1 ⇔ n( n -1) =0 ⇔ n=0; n=1. Các giá trị này thoả mãn đề bài.

n² -n +1= -1 ⇔ n² -n +2 =0 không tìm được giá trị của n

Vậy n= 0; n =1 là hai số phải tìm

Answer 2

[ShinNosuke]

 Khai triển n^5 + 1 = (1 + n)( n^4 - n^3 + n^2 - n + 1) 
n^3 + 1 = (n + 1)( n^2 - n + 1) 
=> n khác -1 để pháp chia có nghĩa 
Để n^5 + 1 chia hết cho n^3 + 1 thì: 
n^4 - n^3 + n^2 - n + 1 chia hết cho n^2 - n + 1 
n^2 ( n² + n + 1) + 1 - n chia hết cho n^2 - n +1 

=> 1 - n chia hết cho n² - n + 1 thì pt trên mới xảy ra chia hết 

1 - n chia hết cho n² - n + 1 
(-n)(1 - n) chia hết cho n² - n + 1 
n² - n + 1 - 1 chia hết cho n² - n + 1 

Để pt trên chia hết thì 1 chia hết cho n² - n + 1 
=> n² - n + 1 = 1 => n = 0;1 
n² - n + 1 = -1 => n² - n + 2 = 0 ( vô nghiệm, tự c/m) 

Vậy với n = 0;1 thì