Question

[Vương Chí Thanh]

CMR: với mọi số tự nhiên n thì:

\(\sqrt{1^3+2^3+3^3+...+n^3}=1+2+3+...+n\)

Answer 1

[Nguyệt]

giờ này ko ai on mà trả lời đâu bn, mk mới 6 lên 7 nên ko làm dcd

Answer 2

[Vương Chí Thanh]

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

+Với n=1 thì\(\sqrt{1^3}=1\). Mệnh đề đúng với n = 1.

+Giả sử mệnh đề đúng với n = k thì ta có:

\(\sqrt{1^3+2^3+3^3+...+k^3}=1+2+3+...+k\)

\(\Rightarrow1^3+2^3+3^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+...+k\right)^2+\left(k+1\right)^3\)(1)

Mặt khác ta có: \(\left[\left(1+2+3+...+k\right)+\left(k+1\right)\right]^2\)

                  \(=\left(1+2+3+...+k\right)^2+\left(k+1\right)^2+2\left(1+2+3+...+k\right)\left(k+1\right)\)

                  \(=\left(1+2+3+...+k\right)^2+\left(k+1\right)^2+k\left(k+1\right)^2\)

                  \(=\left(1+2+3+...+k\right)^2+\left(k+1\right)^3\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

             \(1^3+2^3+3^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left[\left(1+2+3+...+k\right)+\left(k+1\right)\right]^2\)

     \(\Rightarrow\sqrt{1^3+2^3+3^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3}=1+2+3+...+k+\left(k+1\right)\)

Tức mệnh đề đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí qui nap mệnh đề đúng với mọi n nguyên dương.