PT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NF
0
BV
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 11 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm \(x^2,y^2,z^2,t^2\) ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x^2+y^2\geq 2\sqrt{x^2y^2}=2|xy|\geq 2xy\\ y^2+z^2\geq 2|yz|\geq 2yz\\ z^2+t^2\geq 2|zt|\geq 2zt\\ t^2+x^2\geq 2|tx|\geq 2tx\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow 2(x^2+y^2+z^2+t^2)\geq 2(xy+yz+zt+tx)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+t^2\geq xy+yz+zt+tx\)
Dấu bằng xảy ra (vì \(x^2+y^2+z^2+t^2=1=xy+yz+zt+tx\) )
\(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=t^2\)
\(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=t^2=\frac{1}{4}\)
Kết hợp với \(xy+yz+zt+tx=1\) suy ra
\((x,y,z,t)=(\frac{1}{2};\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2}); (\frac{-1}{2};\frac{-1}{2}; \frac{-1}{2}; \frac{-1}{2})\)
NT
4
18 tháng 1 2019
\(\dfrac{x}{xyz+xy+x+1}+\dfrac{y}{yzt+yz+y+1}+\dfrac{z}{xzt+zt+z+1}+\dfrac{t}{xyt+tx+t+1}\)
= \(\dfrac{x}{xyz+xy+x+1}+\dfrac{xy}{xyzt+xyz+xy+x}+\dfrac{xyz}{x^2yzt+xyzt+xyz+xy}+\dfrac{xyzt}{x^{2^{ }}y^2zt+x^2yzt+xyzt+xyz}\)
= \(\dfrac{x}{xyz+xy+x+1}+\dfrac{xy}{1+xyz+xy+x}+\dfrac{xyz}{x+1+xyz+xy}+\dfrac{1}{xy+x+1+xyz}\)
= \(\dfrac{x+xy+xyz+1}{x+xy+xyz+1}\)
= 1
14 tháng 1 2019
Thay xyzt = 1 vào P, có:
P= \(\frac{x}{xyz+xy+x+xyzt\ }\) + \(\frac{y}{yzt+yz+y+1}+\frac{z}{xzt+zt+z+xyzt}+\frac{t}{xyt+tx+t+1}\)
\(P=\frac{x}{x.\left(yz+y+1+yzt\right)}+\frac{y}{yzt+yz+y+1}+\frac{z}{z.\left(xt+t+1+xyt\right)}+\frac{t}{xyt+tx+t+1}\)
\(P=\frac{1\ +y}{yz+y+yzt+1}\) \(+\frac{1+t}{xyt+tx+t+1}\)
\(P=\frac{1+y}{yz+y+yzt+xyzt\ }+\frac{1+t}{xyt+tx+t+1}\)
\(P=\frac{1+y}{y.z.\left(xyt+tx+t+1\right)}+\frac{yz+tyz}{yz.\left(xyt+tx+t+1\right)}\)
\(P=\frac{1+y+yz+tyz}{yz.\left(xyt+tx+t+1\right)}=\frac{1+y+yz+tyz}{xyzt.\left(1+y+yz+tyz\right)}=\frac{1}{xyzt}=1\)
KL: P = 1 tại xyzt=1
❤ѕѕѕσиɢσкυѕѕѕ❤
Ta có: \(x^2+y^2+z^2+t^2-\left(xy+yz+zt+tx\right)=1-1\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2+t^2-xy-yz-zt-tx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2+2t^2-2xy-2yz-2zt-tx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zt+t^2\right)+\left(t^2-2tx+x^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-t\right)^2+\left(t-x\right)^2=0\)
Vì \(\left(x-y\right)^2\ge0;\left(y-z\right)^2\ge0;\left(z-t\right)^2\ge0;\left(t-x\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-t\right)^2+\left(t-x\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi x - y = 0 ; y - z = 0 ; z - t = 0 ; t - x = 0 <=> x = y = z = t
Khi đó \(x^2+y^2+z^2+t^2=x^2+x^2+x^2+x^2=4x^2=1\)
\(\Leftrightarrow x^2=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=\pm\frac{1}{2}\)
Vậy \(x=y=z=t=\pm\frac{1}{2}\)