Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
* Có BĐT : \(\dfrac{4}{x+y}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) với $x,y>0$ ( Chứng minh bằng xét hiệu )
Ta có BĐT : \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\Rightarrow\dfrac{x+y}{x^2+y^2}\le\dfrac{2\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{2}{x+y}\)
Chứng minh tương tự khi đó :
\(P\le\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{2}{y+z}+\dfrac{2}{z+x}\)
\(\Rightarrow2P\le\dfrac{4}{x+y}+\dfrac{4}{y+z}+\dfrac{4}{z+x}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=2.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=4032\)
\(\Rightarrow P\le2016\)
\(A=2x^2+4xy-4x+2y^2-10xy+4y+2xy\)
\(A=\left(2x^2-4xy+2y^2\right)-\left(4x-4y\right)=2\left(x^2-2xy+y^2\right)-4\left(x-y\right)\)
\(A=2\left(x-y\right)^2-4\left(x-y\right)=2.3^2-4.3=6\)
Theo bài ra, ta có: \(x^2-y=y^2-x\Leftrightarrow x^2-y^2=-x+y\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)=-\left(x-y\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)=-1\)
Ta lại có: \(A=x^2+2xy+y^2-3x-3y=\left(x+y\right)^2-3\left(x+y\right)\)
Thay x+y=-1 vào biểu thức A, ta được: \(A=\left(-1\right)^2-3.\left(-1\right)=1+3=4\)
Vậy A=4
\(x^2+2y^2+2xy-2x-6y+5=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)-\left(2x+2y\right)+1+\left(y^2-4y+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1+\left(y-2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge0\forall x,y\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y-1\right)^2=0\\\left(y-2\right)^2=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=2\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(P=\dfrac{\left(-1\right)^2-7\cdot\left(-1\right)\cdot2+51}{-1-2}=-22\)
Từ đề bài \(\Rightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)-2x-2y+1+y^2-4y+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1+y^2-4y+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=0\)
Lập luận tìm được \(x=-1;y=2\) thay vào A (tự tính)