Question

[ĐỨc Lê Hồng]

Cho tam giác ABC, trên cạnh kéo dài của tam giác ABC lấy AA' = AB, BB'=BC, CC' = AC. Chứng minh trọng tâm tam giác ABC và A'B'C trùng nhau. (không dùng vecto nha).

Answer 1

[Lê Anh Tú]

- Gọi G là trọng tâm \(\Delta ABC\), trung tuyến BE cắt A'C tại E'.

- Gọi trung điểm B'C' là D'. BE và D'C là đường trung bình của \(\Delta CAB'\)và \(\Delta C'AB'\)

=> BE // D'C và BE = D'C 

Trung tuyến AD là đường trung bình của \(\Delta BCA'\Rightarrow GE'=BG=\frac{2}{3}\cdot BE=\frac{2}{3}\cdot D'C\) 

Gọi G' là giao của A'D' và BE' ta có:

Áp dụng định lí Talet:

\(\frac{G'E'}{D'C}=\frac{A'E'}{A'C}=\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}\) (AD // A'C do là đường trung bình của \(\Delta BA'C\)) 

\(\Rightarrow G'E'=\frac{2}{3}\cdot D'C\)

=> G'E' = GE'.

Do G và G' cùng nằm trên BE' và G, G' nằm cùng phía so với E' nên G và G' trùng nhau. 

Như vậy trung tuyến A'D' đi qua G, tương tự trung tuyến B'M' cũng đi qua G

=> G là trọng tâm của \(\Delta A'B'C'\)

"Nếu G là trọng tâm \(\Delta ABC\) thì vtGA + vtGB + vtGC = vt0"

Gọi giao của AG và BC là D. Trên AD kéo dài lấy E sao cho

DE = DG => GE = GA => vtGE = - vtGA.

Do GE và BC cắt nhau tại trung điểm D của chúng nên BGCE là hình bình hành

=> vtGB + vtGC = vtGE = -vtGA => vtGA + vtGB + vtGC = vt0

Gọi G là trọng tâm ABC, G' là trọng tâm \(\Delta A'B'C'\)

=> vtGA + vtGB + vtGC = vt0, vtG'A' + vtG'B' + vtG'C' = vt0

=> vt0 = (vtG'G + vtGA + vtAA') + (vtG'G + vtGB + vtBB') + (vtG'G + vtGC + vtCC')  

           =3vtG'G + (vtGA + vtGB + vtGC) + (vtBA + vtCB + vtAC)  
           =3vtG'G + vt0 + (vtBA + vtAC + vtCB) = 3vtG'G + vt0

=> vtG'G = vt0 

=> G' trùng với G