Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét \(\Delta=p^2+4ap\inℕ^∗,\forall a,p\inℕ^∗\)
Để phương trình nhận nghiệm hữu tỉ thì \(\sqrt{\Delta}\)Phải là hữu tỉ hay có thể khẳng định rằng \(\Delta\)phải là số chính phương.
Ở đây ta chú ý rằng nếu x là số nguyên tố thì mọi số chính phương chia hết cho x buộc phải chia hết cho x2
( Điều này hiển nhiên khỏi chứng minh)
Vì \(\Delta⋮p\)mà p là số nguyên tố \(\Rightarrow\Delta=p^2+4ap⋮p^2\Rightarrow4a⋮p\)
---> Đặt \(4a=kp,k\inℕ^∗\)---> Thế vào \(\Delta\)
\(\Rightarrow\Delta=p^2+kp^2=p^2\left(1+k\right)\)là số chính phương khi và chỉ khi (1+k) là số chính phương
---> Đặt \(1+k=n^2\Rightarrow k=n^2-1,n\inℕ^∗\)---> Thế vào a
\(\Rightarrow a=\frac{\left(n^2-1\right)p}{4}\)
Thử lại: \(\Delta=p^2+4ap=p^2+\left(n^2-1\right)p^2=p^2.n^2=\left(pn\right)^2\)---> Là số chính phương
Kết luận: bla bla bla bla...... :)))
P nguyên tố, pt sau có hai nghiệm nguyên:
\(x^2 + Px - 12P = 0 (1) \)
Có:\( Δ = P^2 + 48P = P(P + 48) \)
Vì pt có nghiệm nguyên nên Δ phải là số chính phương:
=> \(P(P + 48) = n^2\) (n nguyên)
=> \(P + 48 = \frac{n^2}{P}\) là số nguyên nên \(n^2\) chia hết cho P
Mà P là số nguyên tố nên => n chia hết cho P => đặt n = k.P (k nguyên)
Có:\( P(P + 48) = n^2 = k^2.P^2 \)
=> \(P + 48 = k^2.P \)
=> \(48 = (k^2 - 1).P\)
=> \((k^2 - 1).P = 3.2^4 (*) \)
Do P nguyên tố nên P chỉ có thể là 2 hoặc 3.
*Nếu P = 3 thay vào (*): \(k^2 - 1 = 2^4 = 16 \)
=> \(k^2 = 17\) => k không nguyên (trái giả thiết).
*P = 2 thay vào (*): \(k^2 - 1 = 24 => k^2 = 25\) thỏa.
Thử lại: với P = 2 ta có pt:
\(x^2 + 2x - 24 = 0\) rõ ràng có hai nghiệm nguyên là: x = 4 và x = - 6
Vậy P = 2
Để pt đã cho có nghiệm nguyên dương thì \(\Delta =p^2-4q\) là số chính phương.
Đặt \(p^2-4q=k^2\Leftrightarrow4q=\left(p-k\right)\left(p+k\right)\) với k là số tự nhiên.
Do p - k, p + k cùng tính chẵn, lẻ mà tích của chúng chẵn nên hai số này cùng chẵn.
Mặt khác p - k < p + k và q là số nguyên tố nên p - k = 2; p + k = 2q hoặc p - k = 4; p + k = q.
Nếu p - k = 4; p + k = q thì q chẵn do đó q = 2 (vô lí vì p + k > p - k).
Nếu p - k = 2; p + k = 2q thì 2p = 2q + 2 tức p = q + 1. Do đó q chẵn tức q = 2. Suy ra p = 3.
Thử lại ta thấy pt \(x^2-3x+2=0\) có nghiệm nguyên dương x = 1 và x = 2.
Vậy p = 3; q = 2.
Phương trình có 2 nghiêm nguyên dương m, n. Khi đó mn=q, m+n=p, do q là số nguyên tố nên chỉ có 2 ước nguyên dương là 1, q. Do đó {m, n}={1; q}
Khi đó 1+q=p, do đó p, q khác tính chẵn lẻ, mà chỉ có 2 là số nguyên tố chẵn, do đó q=2, p=3
p²+q²=2²+3²=13 là số nguyên tố ( đọc)