Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có :
\(\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{2\sqrt{k}}>\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\)
\(=\frac{2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\left(\sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right)\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}\)
\(=2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)\)
Vậy : \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+.....+\frac{1}{\sqrt{n}}>2\left(\sqrt{2}-1\right)+2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+....+2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)
\(=2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\left(đpcm\right)\)
Đặt \(\frac{5-\sqrt{21}}{2}=a;\frac{5+\sqrt{21}}{2}=b>0\) thì \(ab=1\)
*Chứng minh an là số tự nhiên.
Với n = 0, 1 nó đúng. Giả sử nó đúng đến n = k tức là ta có:
\(\hept{\begin{cases}a^{k-1}+b^{k-1}\inℤ\\a^k+b^k\inℤ\end{cases}}\). Ta cần chưng minh nó đúng với n = k + 1 hay:
\(a^k.a+b^k.b=\left(a^k+b^k\right)\left(a+b\right)-ab\left(b^{k-1}+a^{k-1}\right)\)
\(=\left(a^k+b^k\right)\left(a+b\right)-\left(b^{k-1}+a^{k-1}\right)\inℤ\) (em tắt tí nhá, dựa vào giả thiết quy nạp thôi)
Vậy ta có đpcm.
Còn lại em chưa nghĩ ra
Ta có: \(a_n=1+\frac{2^n\left[1.3.5...\left(2n-1\right)\right]}{\left(n+5\right)\left(n+6\right)...\left(2n\right)}\)
\(=1+\frac{2^n\left(2n\right)!}{\left[2.4.6..\left(2n\right)\right]\left[\left(n+5\right)\left(n+6\right)..\left(2n\right)\right]}\)
\(=1+\frac{\left(2n\right)!}{n!\left(n+5\right)\left(n+6\right)...\left(2n\right)}\)
\(=1+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)\)
mặt khác \(1+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)=\left(n^2+5n+5\right)^2\)
do đó an luôn là SCP