Question

[Lê Thành Công]

Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD và điểm E thuộc cạnh BC. Một đường thẳng qua A vuông góc với AE cắt CD tại F. Đường thẳng chứa đường trung tuyến AM của tam giác AEF cắt CD tại K. Tìm tọa độ điểm D biết A(-6;6). M(-4;2) và K(-3;0)

Answer 1

[Mai Nguyên Khang]

Có 2 tam giác vuông \(\Delta ABE=\Delta ADF\) vì \(AB=AD\) và \(\widehat{BAE}=\widehat{DAF}\) cùng phụ với \(\widehat{DAE}\)

Suy ra tam giác AEF vuông cân và \(ME=MA=MF\Rightarrow AM\perp EF\)

Ta có \(\overrightarrow{MA}=\left(2;-4\right)\), đường thẳng EF đi qua M có phương trình :

\(2\left(x+4\right)-4\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x-2y+8=0\)

Bây giờ tìm tọa độ các điểm E, F thỏa mãn ME=MA=MF. Gọi T(x;y) thuộc đường thẳng EF, thì x=2t-8; y=t, \(t\in R\)

Khi đó \(MT=MA\Leftrightarrow\left(2t-8+4\right)^2+\left(1-2\right)^2=2^2+\left(-4\right)^2=20\)

                            \(\Leftrightarrow5\left(t-2\right)^2=20\Leftrightarrow t\left(t-4\right)=0\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}t=0\\t=4\end{cases}\)

Như vậy có 2 điểm \(t_1\left(-8;0\right);t_2\left(0;4\right)\) ( Chính là 2 điểm E và F) thuộc đường thẳng EF mà \(MT_1=MA\)

- Trường hợp \(E\left(-8;0\right);F\left(0;4\right)\). Do F thuộc đường thẳng CD nên đường thẳng CD nhận \(\overrightarrow{KF}=\left(3;4\right)\) làm vec tơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng CD là \(\begin{cases}x=3t\\y=4+4t\end{cases}\)   (\(t\in R\)).

Khi đó \(D\left(3t;4+4t\right)\)

Ta có \(AD\perp KF\Leftrightarrow\overrightarrow{KF}.\overrightarrow{AD}=0\Rightarrow3\left(3t+6\right)+4\left(-2+4t\right)=0\Leftrightarrow t=-\frac{2}{5}\Rightarrow D\left(-\frac{6}{5};\frac{12}{5}\right)\)

- Trường hợp \(F\left(-8;0\right);E\left(0;4\right)\), đường thẳng CD nhận \(\overrightarrow{FK}=\left(5;0\right)\) làm vec tơ chỉ phương 

Phương trình CD : \(\begin{cases}x=-8+5t\\y=0\end{cases}\)   \(\left(t\in R\right)\)

Khi đó \(D\left(-8+5t;0\right)\)

Ta có \(AD\perp KF\Leftrightarrow\overrightarrow{FK}.\overrightarrow{AD}=0\Leftrightarrow5\left(-2+5t\right)=0\Leftrightarrow t=\frac{2}{5}\Rightarrow D\left(-6;0\right)\)

Answer 2

[lâm cự giải]

a