Question

[ღ๖ۣۜLinh's ๖ۣۜLinh'sღ] ★we are one★]

Tìm x,y là số tự nhiên biết

\(1!+2!+3!+.....+x!=y^3\)

Answer 1

[tth_new]

Thử cách này của em xem ạ... lâu rồi không làm dạng này nên không rành lắm :(

Với x = 0 thì y = 1 (TM)

Với x = 1 thì y = 1 (TM)

Ta sẽ chứng minh với x > 2 thì không tồn tại y. (*) Thật vậy:

Với x = 2 thì y = 3 \(\Rightarrow\) (*) đúng với x =2

Giả sử (*) đúng với x = k > 2; \(k\inℕ\). Tức là \(1!+2!+3!+...+k!\ne y^3\)

Cần chứng minh nó đúng với x = k + 1.Tức là chứng minh \(1!+2!+3!+...+k!+\left(k+1\right)!\ne y^3\) (1)

\(\Leftrightarrow\left(1!+2!+3!+...+k!\right)-y^3+\left(k+1\right)!\ne0\)

Theo giả thiết quy nạp suy ra \(\left(1!+2!+3!+...+k!\right)-y^3+\left(k+1\right)!\ne y^3-y^3+\left(k+1\right)!=\left(k+1\right)!>0\forall k\inℕ\)

Do vậy (1) đúng nên theo nguyên lí quy nạp suy ra (*) đúng.

Vậy (x;y) = { (0;1) ; (1;1) }

Answer 2

[zZz Cool Kid_new zZz]

Với \(x=0\Rightarrow y=1\left(TM\right)\)

Với \(x=1\Rightarrow y=1\left(TM\right)\)

Với \(x=2\Rightarrow y^3=1+1\cdot2=3\Rightarrow y=\sqrt[3]{3}\left(KTM\right)\)

Với \(x=3\Rightarrow y^3=1+1\cdot2+1\cdot2\cdot3=9\Rightarrow y=\sqrt[3]{9}\left(KTM\right)\)

Với \(x=4\Rightarrow y^3=1+1\cdot2+1\cdot2\cdot3+1\cdot2\cdot3\cdot4=33\Rightarrow y=\sqrt[3]{33}\left(KTM\right)\)

Với \(x=5\Rightarrow y^3=1+1\cdot2+1\cdot2\cdot3+1\cdot2\cdot3\cdot4+1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=33+120\) có tận cùng là 3.

Cứ tiếp tục như vậy thì  \(y^3\) luôn có dạng \(33+\overline{...0}\).

Mà lập phương của 1 số tự nhiên thì không tận cùng là 3 nên \(\left(x;y\right)=\left\{0;1\right\};\left\{1;1\right\}\)