![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Sau khi thử bằng pascal thì em thấy bài này hình như có vô số nghiệm (Chắc là sai đề). Nhưng nếu ai tìm được công thức tổng quát của k thì hay biết mấy.
Tôi xin bài này để đăng lên trang face ông nhé :)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(3n+6=x^3,n+1=y^3\)vì \(n\inℕ^∗\)nên \(x>1,y>3\)và x,y nguyên dương
\(\left(3n+6\right)-\left(n+1\right)=x^3-y^3\)
\(\Leftrightarrow2n+5=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)(1)
Vì 2n+5 là số nguyên tố nên chỉ có 2 ước là 1 và 2n+5 mà (x-y) và (x2+xy+y2) cũng là 2 ước của 2n-5 nên:
\(\orbr{\begin{cases}x-y=1,x^2+xy+y^2=2n+5\\x^2+xy+y^2=1,x-y=2n+5\end{cases}}\)mà \(x>1,y>3\)nên vế dưới không thể xảy ra.
Vậy \(\hept{\begin{cases}x=y+1\\x^2+xy+y^2=2n+5\end{cases}}\)thay vế trên vào vế dưới\(\Rightarrow\left(y+1\right)^2+y\left(y+1\right)+y^2=2n+5\)
\(\Rightarrow3y^2+3y+1=2n+5\)
Vậy ta xét \(\hept{\begin{cases}3y^2+3y+1=2n+5\\y^3=n+1\Rightarrow2y^3=2n+2\end{cases}}\)trừ 2 biểu thức vế theo vế:
\(\Rightarrow-2y^3+3y^2+3y+1=3\Leftrightarrow\left(y+1\right)\left(y-2\right)\left(1-2y\right)=0\)
Vì nguyên dương nên nhận y=2--->n=7
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài 1 :
Phương trình <=> 2x . x2 = ( 3y + 1 ) 2 + 15
Vì \(\hept{\begin{cases}3y+1\equiv1\left(mod3\right)\\15\equiv0\left(mod3\right)\end{cases}\Rightarrow\left(3y+1\right)^2+15\equiv1\left(mod3\right)}\)
\(\Rightarrow2^x.x^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow x^2\equiv1\left(mod3\right)\)
( Vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 )
\(\Rightarrow2^x\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow x\equiv2k\left(k\inℕ\right)\)
Vậy \(2^{2k}.\left(2k\right)^2-\left(3y+1\right)^2=15\Leftrightarrow\left(2^k.2.k-3y-1\right).\left(2^k.2k+3y+1\right)=15\)
Vì y ,k \(\inℕ\)nên 2k . 2k + 3y + 1 > 2k .2k - 3y-1>0
Vậy ta có các trường hợp:
\(+\hept{\begin{cases}2k.2k-3y-1=1\\2k.2k+3y+1=15\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k.2k=8\\3y+1=7\end{cases}\Rightarrow}k\notinℕ\left(L\right)}\)
\(+,\hept{\begin{cases}2k.2k-3y-1=3\\2k.2k+3y+1=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k.2k=4\\3y+1=1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}k=1\\y=0\end{cases}\left(TM\right)}}\)
Vậy ( x ; y ) =( 2 ; 0 )
Bài 3:
Giả sử \(5^p-2^p=a^m\) \(\left(a;m\inℕ,a,m\ge2\right)\)
Với \(p=2\Rightarrow a^m=21\left(l\right)\)
Với \(p=3\Rightarrow a^m=117\left(l\right)\)
Với \(p>3\)nên p lẻ, ta có
\(5^p-2^p=3\left(5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}\right)\Rightarrow5^p-2^p=3^k\left(1\right)\) \(\left(k\inℕ,k\ge2\right)\)
Mà \(5\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow5^x.2^{p-1-x}\equiv2^{p-1}\left(mod3\right),x=\overline{1,p-1}\)
\(\Rightarrow5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}\equiv p.2^{p-1}\left(mod3\right)\)
Vì p và \(2^{p-1}\)không chia hết cho 3 nên \(5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}⋮̸3\)
Do đó: \(5^p-2^p\ne3^k\), mâu thuẫn với (1). Suy ra giả sử là điều vô lý
\(\rightarrowĐPCM\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(n^5+n^4+1\)
\(=n^5-n^3+n^2+n^4-n^2+n+n^3-n+1\)
\(=n^2\left(n^3-n+1\right)+n\left(n^3-n+1\right)+\left(n^3-n+1\right)\)
\(=\left(n^3-n+1\right)\left(n^2+n+1\right)\)
Do \(n^5+n^4+1\) là số nguyên tố nên: \(\left[{}\begin{matrix}n^3-n+1=1\\n^2+n+1=1\end{matrix}\right.\) trong hai số phải có 1 số là 1 và số còn lại là số nguyên tố:
TH1: \(n^3-n+1=1\)
\(\Leftrightarrow n^3-n=0\)
\(\Leftrightarrow n\left(n^2-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=0\\n=1\\n=-1\end{matrix}\right.\)
Với
\(n=0\Rightarrow0^5+0^4+1=1\) (loại)
\(n=1\Rightarrow1^5+1^4+1=3\) (nhận)
\(n=-1\Rightarrow\left(-1\right)^5+\left(-1\right)^4+1=1\) (loại)
TH1: \(n^2+n+1=1\)
\(\Leftrightarrow n^2+n=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=0\\n=-1\end{matrix}\right.\left(\text{loại}\right)\)
Vậy \(n=1\) là số thỏa mãn để \(n^5+n^4+1\) là số nguyên tố
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hình như là đề bài thiếu rồi ạ. Nếu chỉ cho đk như vậy thì sao tìm đc n ạ???
Nếu n\(\ge\)6 thì n! =1.2.3.4.5.6.....n chia hết cho9, n! chia hết cho 3
mà 105 chia hết cho 3
=> (n!+105) chia hết cho 3
n! + 105 là số chính phương => (n!+105) chia hết cho 9
mà n! chia hết cho 9
=> 105 chia hết cho 9( vô lý)(loạiI
+) Nếu n=5 thì n!+105 =5!+105=225=152
+) Nếu n=4 thì n!+105=4!+105=129 (không là SCP )(loại)
+) Nếu n=3 thì n!+105=3!+105=111(ko là SCP)(LOẠI)
+) Nếu n=2 thì n!+105=2!+105=107 (loại)
+) Nếu n=1 thì n!+105=106(loại)
+) Nếu n=0 thì n!+105=106 (loại)
Vậy n=5