Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ gt \(\Rightarrow ab-ac-bc+c^2=c^2\)
\(\Leftrightarrow ab=ac+bc\)
\(\Leftrightarrow ab=c\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow abc=c^2\left(a+b\right)\)
Bây giờ chỉ cần chứng minh ( a + b ) là số chính phương nx là xog !
Gọi \(ƯCLN\left(a-c;b-c\right)=d\left(d\inℕ^∗\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-c⋮d\\b-c⋮d\end{cases}\Rightarrow}\left(a-c\right)-\left(b-c\right)⋮d\)
\(\Rightarrow a-b⋮d\)
Mà \(\left(a;b\right)=1\)
\(\Rightarrow d=1\)
Hay \(\left(a-c;b-c\right)=1\)
Mà \(\left(a-c\right)\left(b-c\right)=c^2\)là số chính phường
Nên a - c và b - c đều là số chính phương
Đặt \(\hept{\begin{cases}a-c=x^2\\b-c=y^2\end{cases}\left(x;y\inℕ\right)}\)
\(\Rightarrow x^2.y^2=\left(a-c\right)\left(b-c\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2=c^2\)
\(\Leftrightarrow xy=c\)( Do xy và c đều dương )
Ta có : \(\left(a-c\right)+\left(b-c\right)=x^2+y^2\)
\(\Leftrightarrow a+b-2c=x^2+y^2\)
\(\Leftrightarrow a+b=x^2+2c+y^2\)
\(\Leftrightarrow a+b=x^2+2xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow a+b=\left(x+y\right)^2\)là số chính phương
Do đó : \(abc=c^2.\left(x+y\right)^2=\left(cx+cy\right)^2\)là số chính phương
Vậy .................
\(\left(x^2-y^2\right)^2=4xy+1\)
<=> \(\left(x^2+y^2\right)^2=4x^2y^2+4xy+1\)
<=> \(\left(x^2+y^2\right)^2=\left(2xy+1\right)^2\)
<=> \(x^2+y^2=2xy+1\)
<=> \(\left(x-y\right)^2=1\)
<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=y+1\\x=y-1\end{matrix}\right.\) mà x,y là SNT <=> \(\left[{}\begin{matrix}\left(x;y\right)=\left(3;2\right)\\\left(x;y\right)=\left(2;3\right)\end{matrix}\right.\)
Nếu m=n ta có đpcm
Xét m \(\ne\)n ta đặt \(\hept{\begin{cases}m+n=2x\\m-n=2y\end{cases}\left(x;y\inℤ;x>0;y\ne0\right)}\)khi đó ta có: \(\hept{\begin{cases}m=x+y\\n=x-y\end{cases}\left(m,n>0\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y>0\\x-y>0\end{cases}\Rightarrow}x=\left|y\right|}\)
Do đó \(n^2-1⋮\left|m^2-n^2+1\right|\Rightarrow-\left(m^2-n^2-1\right)+m^2⋮\left|m^2-n^2+1\right|\Rightarrow m^2=k\left(m^2-n^2+1\right)\left(1\right)\left(k\inℤ\right)\)
Thay m=x+y; n=x-y ta có: (x+y)2=k(4xy+1)
<=> x2-2(2x-1)xy+y2-k=0 (*)
Phương trình (*) có 1 nghiệm là x thuộc Z nên có 1 nghiệm nữa là x1. Theo hệ thức Vi-et ta có:
\(\hept{\begin{cases}x+x_1=2\left(2k-1\right)\\xx_1=y^2-k\end{cases}\Rightarrow x;x_1\inℤ}\)
Nếu x1>0 => (x;y) là cặp nghiệm thỏa mãn (*)
=> x1>|y| => y2-k=xx1 > |y|2=y2 => k<0 => x1+x2=2(2k-1)<0 (mâu thuẫn)
Nếu x1<0 thì xx1=y2-k<0 => k>y2 => k>0 => 4xy+1>0 => y>0 ta có:
k=x12-2(2k-1)x1y+y2=x12+2(2k-1)|x1|y+y2> 2(2k-1) |x1|y >= 2(2k-1)>k (mâu thuẫn)
vậy x1=0 khi đó k=y2 và \(m^2-n^2+1=\left(\frac{m}{y}\right)^2\)nên |m2-n2+1| là số chính phương
