K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

30 tháng 4 2017

Điều kiện \(x^2-1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le-1\\x\ge1\end{matrix}\right.\)

Đặt \(x-\sqrt{x^2-1}=a\) thì ta có pt trở thành:

\(\left(1+a\right)^{2005}+\left(1+\dfrac{1}{a}\right)^{2005}=2^{2006}\)

Ta có:

\(\left(1+a\right)^{2005}+\left(1+\dfrac{1}{a}\right)^{2005}\ge2^{2005}\left(\sqrt{a^{2005}}+\dfrac{1}{\sqrt{a^{2005}}}\right)\ge2^{2006}\)

Đấu = xảy ra khi a = 1 hay

\(x-\sqrt{x^2-1}=1\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

2 tháng 7 2015

\(x-\sqrt{x^2-1}=\frac{x^2-\left(x^2-1\right)}{x+\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}=t\)\(\Rightarrow x+\sqrt{x^2-1}=\frac{1}{t}\)

Ta có: \(\left(1+t\right)^{2015}+\left(1+\frac{1}{t}\right)^{2015}=2^{2016}\)(1)

Áp dụng Côsi ta có: 

\(1+t\ge2\sqrt{t}\Rightarrow\left(1+t\right)^{2015}\ge2^{2015}.\sqrt{t^{2015}}\)

\(1+\frac{1}{t}\ge\frac{2}{\sqrt{t}}\Rightarrow\left(1+\frac{1}{t}\right)^{2015}\ge\frac{2^{2015}}{\sqrt{t^{2015}}}\)

\(\Rightarrow\left(1+t\right)^{2015}+\left(1+\frac{1}{t}\right)^{2015}\ge2^{2015}\left(\sqrt{t^{2015}}+\frac{1}{\sqrt{t^{2015}}}\right)\)

\(\ge2^{2015}.2\sqrt{\sqrt{t^{2015}}.\frac{1}{\sqrt{t^{2015}}}}=2^{2016}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi t = 1.

Do đó, từ (1) => \(t=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}=1\Rightarrow x+\sqrt{x^2-1}=1\)

\(\Rightarrow1-x=\sqrt{x^2-1}\Rightarrow\left(1-x\right)^2=x^2-1\Leftrightarrow2-2x=0\Leftrightarrow x=1\)

Vậy: \(x=1\text{ là nghiệm (nguyên) duy nhất của phương trình.}\)

12 tháng 7 2018

1)    \(\left(x+\sqrt{x^2+\sqrt{2005}}\right)\left(\sqrt{x^2+\sqrt{2005}}-x\right)=\sqrt{2005}\)

Kết hợp với giả thiết ta được:

     \(\sqrt{x^2+\sqrt{2005}}-x=y+\sqrt{y^2+\sqrt{2005}}\)

suy ra: đpcm

2)     \(\left(x+\sqrt{x^2+\sqrt{2005}}\right)\left(y+\sqrt{y^2+\sqrt{2005}}\right)=\sqrt{2005}\)

Ta có:  \(\hept{\begin{cases}\left(x+\sqrt{x^2+\sqrt{2005}}\right)\left(\sqrt{x^2+\sqrt{2005}}-x\right)=\sqrt{2005}\\\left(y+\sqrt{y^2+\sqrt{2005}}\right)\left(\sqrt{y^2+\sqrt{2005}}-y\right)=\sqrt{2005}\end{cases}}\)

Kết hợp với giả thiết ta có:

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x^2+\sqrt{2005}}-x=y+\sqrt{y^2+\sqrt{2005}}\\\sqrt{y^2+\sqrt{2005}}-y=x+\sqrt{x^2+\sqrt{2005}}\end{cases}}\)

suy ra:  \(x+y=-\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow\)\(S=x+y=0\)

27 tháng 6 2018

\(a^2=b+4010\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+4010\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=x^2+y^2+z^2+4010\)

\(\Rightarrow2xy+2yz+2xz=4010\Rightarrow xy+yz+xz=2005\)

\(x\sqrt{\frac{\left(2015+y^2\right)\left(2005+z^2\right)}{\left(2005+x^2\right)}}=x\sqrt{\frac{\left(xz+yz+xy+y^2\right)\left(xy+xz+yz+z^2\right)}{\left(xy+yz+x^2+xz\right)}}\)

\(=x\sqrt{\frac{\left(z\left(x+y\right)+y\left(x+y\right)\right)\left(x\left(y+z\right)+z\left(y+z\right)\right)}{\left(y\left(x+z\right)+x\left(x+z\right)\right)}}=x\sqrt{\frac{\left(y+z\right)^2\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)

\(=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}=x\left(y+z\right)=xy+xz\)

tương tự : \(y\sqrt{\frac{\left(2015+x^2\right)\left(2015+z^2\right)}{2015+y^2}}=xy+yz;z\sqrt{\frac{\left(2005+x^2\right)\left(2005+y^2\right)}{2015+z^2}}=xz+yz\)

\(\Rightarrow M=xy+xz+xy+yz+xz+yz=2\left(xy+yz+xz\right)=2\cdot2005=4010\)