Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
\(5=3xy+x+y\ge3xy+2\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(3\sqrt{xy}+5\right)\le0\Rightarrow xy\le1\)
\(P=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)+\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}-\sqrt{9-5xy}\)
\(P=\dfrac{\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2-2xy+x+y+2}{x^2y^2+\left(x+y\right)^2-2xy+1}-\sqrt{9-5xy}\)
Đặt \(xy=a\Rightarrow0< a\le1\)
\(P=\dfrac{\left(5-3a\right)^3-3a\left(5-3a\right)+\left(5-3a\right)^2-2a+5-3a+2}{a^2+\left(5-3a\right)^2-2a+1}-\sqrt{9-5a}\)
\(P=\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{2}.2\sqrt{9-5a}\)
\(P\ge\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{4}\left(4+9-5a\right)\)
\(P\ge\dfrac{-29a^3+161a^2-277a+145}{4\left(5a^2-16a+13\right)}=\dfrac{\left(1-a\right)\left(29a^2-132a+145\right)}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\)
\(P\ge\dfrac{\left(1-a\right)\left[29a^2+132\left(1-a\right)+13\right]}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\ge0\)
\(P_{min}=0\) khi \(a=1\) hay \(x=y=1\)
Hai phân thức của P rất khó làm gọn bằng AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz (nó hơi chặt)
2.
Đặt \(A=9^n+62\)
Do \(9^n⋮3\) với mọi \(n\in Z^+\) và 62 ko chia hết cho 3 nên \(A⋮̸3\)
Mặt khác tích của k số lẻ liên tiếp sẽ luôn chia hết cho 3 nếu \(k\ge3\)
\(\Rightarrow\) Bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi \(k=2\)
Do tích của 2 số lẻ liên tiếp đều không chia hết cho 3, gọi 2 số đó lần lượt là \(6m-1\) và \(6m+1\)
\(\Leftrightarrow\left(6m-1\right)\left(6m+1\right)=9^n+62\)
\(\Leftrightarrow36m^2=9^n+63\)
\(\Leftrightarrow4m^2=9^{n-1}+7\)
\(\Leftrightarrow\left(2m\right)^2-\left(3^{n-1}\right)^2=7\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-3^{n-1}\right)\left(2m+3^{n-1}\right)=7\)
Pt ước số cơ bản, bạn tự giải tiếp
Ta có: \(2000=2^4.5^3\).
Suy ra \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)⋮125\)
mà \(n,n+1,n+2,n+3\)là bốn số tự nhiên liên tiếp nên có tối đa một số trong bốn số đó chia hết cho \(5\), khi đó số đó cũng phải chia hết cho \(125\).
Với \(n+3=125\Leftrightarrow n=122\)thử trực tiếp không thỏa.
Với \(n+2=125\Leftrightarrow n=123\)thử trực tiếp không thỏa.
Với \(n+1=125\Leftrightarrow n=124\)thử trực tiếp không thỏa.
Với \(n=125\)thử lại thỏa mãn.
Vậy \(n=125\)là giá trị cần tìm.
Ta có S m-n = (√2 + 1)m /(√2 + 1)n + (√2 - 1)m /(√2 - 1)n = (√2 + 1)m (√2 - 1)n + (√2 - 1)m (√2 + 1)n
Từ đó
S m+n + S m-n = (√2 + 1)m+n + (√2 - 1)m+n +(√2 + 1)m (√2 - 1)n + (√2 - 1)m (√2 + 1)n
= (√2 + 1)m [(√2 + 1)n + (√2 -1)n] + (√2 - 1)m [(√2 - 1)n + (√2 + 1)n]
= [(√2 + 1)n + (√2 - 1)n] [(√2 + 1)m + (√2 - 1)m]
= S m .S n
sorry mk ko bít!!! ^^
6476575756876982525435465658768768676968256346564576576576
Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn 2n+11 chia hết cho 2k-1.
Để tìm tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện đã cho, ta sẽ giải phương trình theo n.
2n + 11 chia hết cho 2k - 1 có nghĩa là tồn tại một số nguyên dương m sao cho:
2n + 11 = (2k - 1)m
Chuyển biểu thức trên về dạng phương trình tuyến tính:
2n - (2k - 1)m = -11
Ta nhận thấy rằng nếu ta chọn một số nguyên dương nào đó, ta có thể tìm được một số nguyên dương k tương ứng để phương trình trên có nghiệm. Do đó, ta chỉ cần tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn phương trình trên.
Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng thuật toán Euclid mở rộng (Extended Euclidean Algorithm). Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể tìm được một số giá trị n và k thỏa mãn phương trình bằng cách thử từng giá trị của n và tính giá trị tương ứng của k.
Dưới đây là một số cặp giá trị n và k thỏa mãn phương trình đã cho:
(n, k) = (3, 2), (7, 3), (11, 4), (15, 5), (19, 6), …
Từ đó, ta có thể thấy rằng có vô số giá trị n và k thỏa mãn phương trình đã cho.
ak ý bn đề là thế này ak
\(T\text{ìm}\)n\(\in\)N* sao cho: với mọi K là số tự nhiên thì \(n^k-n⋮1000\)
