Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
Gọi \(d=ƯC\left(2n^2+3n+1;3n+1\right)\)
\(\Rightarrow2n^2+3n+1-\left(3n+1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow2n^2⋮d\Rightarrow2n\left(3n+1\right)-3.2n^2⋮d\)
\(\Rightarrow2n⋮d\Rightarrow2\left(3n+1\right)-3.2n⋮d\Rightarrow2⋮d\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=1\\d=2\end{matrix}\right.\)
\(d=2\Rightarrow3n+1=2k\Rightarrow n=2m+1\)
\(\Rightarrow n\) lẻ thì A không tối giản
\(\Rightarrow n\) chẵn thì A tối giản
2.
Giả thiết tương đương:
\(xy^2+\dfrac{x^2}{z}+\dfrac{y}{z^2}=3\)
Đặt \(\left(x;y;\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a^2c+b^2a+c^2b=3\)
Ta có: \(9=\left(a^2c+b^2a+c^2b\right)^2\le\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(c^2+a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow9\le\left(a^4+b^4+c^4\right)\sqrt{3\left(a^4+b^4+c^4\right)}\)
\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)^3\ge81\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge3\)
\(\Rightarrow M=\dfrac{1}{a^4+b^4+c^4}\le\dfrac{1}{3}\)
\(M_{max}=\dfrac{1}{3}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\) hay \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\)
Lời giải:
$\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+4}=\frac{\sqrt{x}+4-3}{\sqrt{x}+4}=1-\frac{3}{\sqrt{x}+4}$
Vì $\sqrt{x}\geq 0$ nên $\sqrt{x}+4\geq 4$
$\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+4}\leq \frac{3}{4}$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+4}=1-\frac{3}{\sqrt{x}+4}\geq 1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$
Vậy $M=\frac{1}{4}$
------------------
$N=\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+2}=1+\frac{3}{\sqrt{x}+2}$
Do $\sqrt{x}\geq 0$ nên $\sqrt{x}+2\geq 2$
$\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+2}\leq \frac{3}{2}$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+2}\leq 1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$
Vậy $N=\frac{5}{2}$
$\Rightarrow 2M+N =2.\frac{1}{4}+\frac{5}{2}=3$
Đáp án C.
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2=1\)
\(\Rightarrow VT=\dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}\ge\dfrac{1}{a+b}=VP\)
Dấu "=" khi \(\dfrac{x^2}{a}=\dfrac{y^2}{b}\)\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{a}=\dfrac{y^2}{b}=\dfrac{x^2+y^2}{a+b}=\dfrac{1}{a+b}\Rightarrow a+b=\dfrac{a}{x^2}\Rightarrow\left(a+b\right)^n=\dfrac{a^n}{x^{2n}}\)
Xét \(VT\) của biểu thức cần c.m:
\(VT=\left(\dfrac{x^2}{a}\right)^n+\left(\dfrac{y^2}{b}\right)^n=2\cdot\dfrac{x^{2n}}{a^n}\)
Và \(VP=\dfrac{2}{\left(a+b\right)^n}=\dfrac{2}{\dfrac{a^n}{x^{2n}}}=2\cdot\dfrac{x^{2n}}{a^n}\)
Vậy có ĐPCM
a: \(\Leftrightarrow2n^4-2n^3-n^3+n^2-n^2+n-2⋮n-1\)
\(\Leftrightarrow n-1\in\left\{-1;1;2\right\}\)
hay \(n\in\left\{0;2;3\right\}\)