Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(đk:x^2+2x+2\ne0\Leftrightarrow x^2+2x+1+1=\left(x+1\right)^2+1\ne0\left(luôn-đúng\right)\)
\(A=\dfrac{x^2+10x+16}{x^2+2x+2}\Leftrightarrow A\left(x^2+2x+2\right)=x^2+10x+16\)
\(\Leftrightarrow Ax^2+2Ax+2A-x^2-10x-16=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(A-1\right)+x\left(2A-10\right)+2A-16=0\)
\(\Rightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow\left(2A-10\right)^2-4\left(A-1\right)\left(2A-16\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow4A^2-40A+100-4\left(2A^2-18A+16\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-4A^2+32A+36\ge0\Rightarrow-1\le A\le9\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MinA=-1\\MaxA=9\end{matrix}\right.\)
\(tại\) \(MinA=-1\) \(dấu"="\) \(xảy\) \(ra\Leftrightarrow x=-3\)
\(tại\) \(MaxA=9\) \(dấu"='\) \(xảy\) \(ra\Leftrightarrow x=-0,5\)
a,\(x\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-1}}=2\)\(=>2\sqrt{x-1}=\sqrt{2x-3}\)
\(< =>4\left(x-1\right)=2x-3< =>4x-4=2x-3< =>x=0,5\left(ktm\right)\)
\(=>x\in\phi\)
b, \(đk:\left[{}\begin{matrix}x< 1\\x\ge\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
\(=>\sqrt{\dfrac{2x-3}{x-1}}=4< =>\dfrac{2x-3}{x-1}=>4\left(x-1\right)=2x-3\)
\(< =>4x-4=2x-3< =>2x=1=>x=\dfrac{1}{2}\left(tm\right)\)
vậy,,,..
Lời giải:
Biểu thức 1:
\(y=\frac{2x^2-2x+2}{x^2+1}=\frac{2(x^2+1)-2x}{x^2+1}\)
\(\Leftrightarrow y=2-\frac{2x}{x^2+1}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(x^2+1\geq 2\sqrt{x^2}\Leftrightarrow x^2+1\geq 2|x|\)
\(\Rightarrow (x^2+1)^2\geq 4x^2\)
\(\Rightarrow \left(\frac{2x}{x^2+1}\right)^2\leq 1\Leftrightarrow -1\leq \frac{2x}{x^2+1}\leq 1\)
Từ đây suy ra \(\left\{\begin{matrix} y=2-\frac{2x}{x^2+1}\geq 1\Leftrightarrow x=1\\ y=2-\frac{2x}{x^2+1}\leq 3\Leftrightarrow x=-1\end{matrix}\right.\)
Vậy \(y_{\min}=1;y_{\max}=3\)
Biểu thức 2:
ĐKXĐ: $x,y$ không đồng thời bằng 0
\(Q=\frac{2x^2+4xy+5y^2}{x^2+y^2}=\frac{(x^2+y^2)+(x+2y)^2}{x^2+y^2}\)
\(\Leftrightarrow Q=1+\frac{(x+2y)^2}{x^2+y^2}\)
Ta thấy \((x+2y)^2\geq 0\forall x,y\in\mathbb{R}; x^2+y^2>0\) (nằm trong khoảng xác định)
\(\Rightarrow \frac{(x+2y)^2}{x^2+y^2}\geq 0\Rightarrow Q\geq 1\)
Vậy \(Q_{\min}=1\Leftrightarrow x=-2y\) và \(x,y \neq 0\)
Mặt khác theo BĐT Bunhiacopxky:
\((x+2y)^2\leq (x^2+y^2)(1+2^2)=5(x^2+y^2)\); \(x^2+y^2>0\) trong khoảng xác định
\(\Rightarrow \frac{(x+2y)^2}{x^2+y^2}\leq \frac{5(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=5\)
\(\Rightarrow Q\leq 1+5\Leftrightarrow Q\leq 6\Leftrightarrow Q_{\max}=6\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{x}{1}=\frac{y}{2}\Leftrightarrow 2x=y\) và \(x,y\neq 0\)
Áp dụng BĐT cosi:
\(A=\sqrt{\left(2x+1\right)\left(x+2\right)}+2\sqrt{x+3}-2x\\ A\le\dfrac{2x+1+x+2}{2}+\dfrac{4+x+3}{2}-2x\\ A\le\dfrac{3x+3}{2}+\dfrac{x+7}{2}-2x=\dfrac{3x+3+x+7-4x}{2}=5\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+1=x+2\\4=x+3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=1\)
Tìm GTLN của biểu thức:
a. \(A=\dfrac{1}{x-\sqrt{x}+1}\)
b. \(B=\dfrac{2x-2\sqrt{x}+5}{x-\sqrt{x}+2}\)
Ta có: \(\left(x-1\right)^2+\left(x+y\right)^2\le9\Rightarrow x+y\le3\).
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(\dfrac{2}{x}+2x\ge2\sqrt{\dfrac{2}{x}.2x}=4;\dfrac{4}{y}+y\ge2\sqrt{\dfrac{4}{y}.y}=4\).
Do đó \(\dfrac{2}{x}\ge4-2x;\dfrac{4}{y}\ge4-y\)
\(\Rightarrow P\ge8-4\left(x+y\right)\ge-4\). (do \(x+y\le3\)).
Vậy...
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1; y = 2.
\(A=\dfrac{x^2-2x+2}{x^2+2x+2}\)
\(\Leftrightarrow Ax^2+2Ax+2A=x^2-2x+2\)
\(\Leftrightarrow\left(A-1\right)x^2+\left(2A+2\right)x+\left(2A-2\right)=0\) (*)
Để (*) có nghiệm thì
\(\Delta'\ge0\Leftrightarrow\left(A+1\right)^2-2\left(A-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow-A^2+6A-1\ge0\)
\(\Leftrightarrow3-2\sqrt{2}\le A\le3+2\sqrt{2}\)
Vậy GTNN của A là \(3-2\sqrt{2}\); GTLN của A là \(3+2\sqrt{2}\)
\(B=\dfrac{x^2+2x+2}{x^2+1}\)
Làm tương tự câu a ta được \(\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\le B\le\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\)
A=\(\dfrac{x^2-2x+2}{x^2+2x+2}\)