LA
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DT
30 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT cô-si,ta có:
\(\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{x}}\)>=2 căn bậc 4 của x.y
Vậy A>= -căn x-căn y - căn 4 của x.y=-(\(\sqrt{x}-\sqrt{y}\) )^2
Mà (\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2>=0\)
Suy ra A<=0
dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y
TH
2
29 tháng 10 2023
đkxđ: \(z\ge1;x\ge2;y\ge3\)
Đặt \(a=\sqrt{z-1}\ge0;b=\sqrt{x-2}\ge0;c=\sqrt{y-3}\ge0\)
\(\Rightarrow z=a^2+1;x=b^2+2;y=c^2+3\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+2}+\dfrac{c}{c^2+3}\)
Do các biến \(a,b,c\) độc lập nhau nên ta xét từng phân thức một.
Đặt \(f\left(a\right)=\dfrac{a}{a^2+1}\) \(\Rightarrow f\left(a\right).a^2-a+f\left(a\right)=0\) (*)
Nếu \(f\left(a\right)=0\) thì \(a=0\), rõ ràng đây không phải là GTLN cần tìm.
Xét \(f\left(a\right)\ne0\)
Để pt (*) có nghiệm thì \(\Delta=\left(-1\right)^2-4\left[f\left(a\right)\right]^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(1+2f\left(a\right)\right)\left(1-2f\left(a\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}\le f\left(a\right)\le\dfrac{1}{2}\)
\(f\left(a\right)=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{a}{a^2+1}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a^2+1=2a\Leftrightarrow a=1\) (nhận)
Vậy \(max_{f\left(a\right)}=\dfrac{1}{2}\).
Tiếp đến, gọi \(g\left(b\right)=\dfrac{b}{b^2+2}\) \(\Rightarrow g\left(b\right).b^2-b+2g\left(b\right)=0\) (**)
Tương tự nếu \(b=0\) thì vô lí. Xét \(b\ne0\). Khi đó để (**) có nghiệm thì \(\Delta=\left(-1\right)^2-8\left[g\left(b\right)\right]^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-2\sqrt{2}g\left(b\right)\right)\left(1+2\sqrt{2}g\left(b\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\le g\left(b\right)\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(g\left(b\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\Leftrightarrow\dfrac{b}{b^2+2}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\Leftrightarrow b^2+2=2\sqrt{2}b\Leftrightarrow b=\sqrt{2}\) (nhận)
Vậy \(max_{g\left(b\right)}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)
Làm tương tự với \(h\left(c\right)=\dfrac{c}{c^2+3}\), ta được \(max_{h\left(c\right)}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\), xảy ra khi \(c=\sqrt{3}\)
Vậy GTLN của A là \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}=\dfrac{6+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{12}\), xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)=\left(1,\sqrt{2},\sqrt{3}\right)\) hay \(\left(x,y,z\right)=\left(2,4,6\right)\).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 4 2022
Ta có:
\(1.\sqrt{1+x^2}+1.\sqrt{2x}\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(1+x^2+2x\right)}=\sqrt{2}\left(x+1\right)\)
Tương tự:
\(\sqrt{1+y^2}+\sqrt{2y}\le\sqrt{2}\left(y+1\right)\) ; \(\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(z+1\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\sqrt{2}\left(x+y+z+3\right)+\left(2-\sqrt{2}\right)\left(x+y+z\right)\le\sqrt{2}\left(3+3\right)+\left(2-\sqrt{2}\right).3=6+3\sqrt{2}\)
\(P_{max}=6+3\sqrt{2}\) khi \(x=y=z=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 8 2021
\(P=\sqrt{\left(x-3\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(y-3\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(z-3\right)^2+4^2}\)
\(P\ge\sqrt{\left(x-3+y-3+z-3\right)^2+\left(4+4+4\right)^2}=6\sqrt{5}\)
\(P_{min}=6\sqrt{5}\) khi \(x=y=z=1\)
Mặt khác với mọi \(x\in\left[0;3\right]\) ta có:
\(\sqrt{x^2-6x+25}\le\dfrac{15-x}{3}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(9\left(x^2-6x+25\right)\le\left(15-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow8x\left(3-x\right)\ge0\) luôn đúng
Tương tự: ...
\(\Rightarrow P\le\dfrac{45-\left(x+y+z\right)}{3}=14\)
\(P_{max}=14\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;3\right)\) và hoán vị
NT
1
TT
3 tháng 10 2020
\(ĐKXĐ:x\ge1,y\ge2\)
Ta có : \(C=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}\)
\(=\frac{\sqrt{1.\left(x-1\right)}}{x}+\frac{\sqrt{2.\left(y-2\right)}}{y\sqrt{2}}\)
Áp dụng BĐT Cô - si ta có :
\(\sqrt{1.\left(x-1\right)}\le\frac{1+x-1}{2}=\frac{x}{2}\Rightarrow\frac{\sqrt{1.\left(x-1\right)}}{x}\le\frac{1}{2}\)
\(\sqrt{2.\left(y-2\right)}\le\frac{2+y-2}{2}=\frac{y}{2}\Rightarrow\frac{\sqrt{2\left(y-2\right)}}{y}\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(\)Do đó \(C\le\frac{2+\sqrt{2}}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = 2, y = 4
hình như là ko có max đâu ạ, bạn xem lại đề vs