Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1/ \(y'=\dfrac{\left(\sqrt{x+1}\right)'x-x'\sqrt{x+1}}{x^2}=\dfrac{\dfrac{x}{2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+1}}{x^2}=\dfrac{-x-2}{2x^2\sqrt{x+1}}\)
2/ \(y'=\dfrac{1-x^2-\left(1-x^2\right)'x}{\left(1-x^2\right)^2}=\dfrac{1+x^2}{\left(1-x^2\right)^2}\)
3/ \(y'=\dfrac{-\left(x-\sqrt{x+1}\right)'}{\left(x-\sqrt{x+1}\right)^2}=\dfrac{-1+\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}}{\left(x-\sqrt{x+1}\right)^2}\)
4/ \(y'=f'\left(x\right)=2x-\dfrac{2x}{x^4}=2x-\dfrac{2}{x^3}\)
\(y'=0\Leftrightarrow\dfrac{2x^4-2}{x^3}=0\Leftrightarrow x=\pm1\)
5/ \(y'=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}}{2\sqrt{1+\sqrt{1+x}}}\Rightarrow f\left(x\right).f'\left(x\right)=\sqrt{1+\sqrt{1+x}}.\dfrac{1}{4\sqrt{1+x}.\sqrt{1+\sqrt{1+x}}}=\dfrac{1}{4\sqrt{1+x}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{1+x}=\sqrt{2}\Leftrightarrow1+x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}\)
Hãy nhớ câu tính đạo hàm này, bởi nó liên quan đến nguyên hàm sau này sẽ học
a) ĐK: \(\cos x\ne0\)( vì tan x = sinx/cosx nên cos x khác 0)
<=> \(x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\); k thuộc Z
TXĐ: \(ℝ\backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}\); k thuộc Z
b) ĐK: \(1+\cos2x\ne0\Leftrightarrow\cos2x\ne-1\Leftrightarrow2x\ne\pi+k2\pi\Leftrightarrow x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\); k thuộc Z
=> TXĐ: \(ℝ\backslash\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}\); k thuộc Z
c) ĐK: \(\hept{\begin{cases}\cot x-\sqrt{3}\ne0\\\sin x\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ne\frac{\pi}{6}+k\pi\text{}\text{}\\x\ne l\pi\end{cases}}\); k,l thuộc Z
=>TXĐ: ....
d) ĐK: \(1-2\sin^2x\ne0\Leftrightarrow\cos2x\ne0\Leftrightarrow2x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\Leftrightarrow x\ne\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\)
=> TXĐ:...
1. \(y'=3x^2\sqrt{x}+\dfrac{x^3-5}{2\sqrt{x}}=\dfrac{7x^3-5}{2\sqrt{x}}\)
2. \(y'=3x^5+\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)
3. \(y'=2-\dfrac{2}{\left(x-2\right)^2}\)
\(1.\hept{\begin{cases}2-2\cos x\ge0\\\sqrt{2-2\cos x}-2\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\cos x\le1\left(đ\right)\\\cos x\ne-1\end{cases}}\Leftrightarrow x\ne\pi+k2\pi\left(k\in Z\right)\)
\(2.\hept{\begin{cases}\sin3x\ne0\\1+\sin3x\ge0\\1-\sqrt{1+\sin3x}\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x\ne k\pi\\\sin3x\ge-1\left(đ\right)\\\sin3x\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow x\ne\frac{k\pi}{3}\left(k\in Z\right)\)
\(3.\hept{\begin{cases}\sin2x\ne0\\\sin x\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x\ne k\pi\\x\ne k\pi\end{cases}}\Leftrightarrow x\ne\frac{k\pi}{2}\left(k\in Z\right)\)
1a.
\(y'=3x^2.f'\left(x^3\right)-2x.g'\left(x^2\right)\)
b.
\(y'=\dfrac{3f^2\left(x\right).f'\left(x\right)+3g^2\left(x\right).g'\left(x\right)}{2\sqrt{f^3\left(x\right)+g^3\left(x\right)}}\)
2.
\(f'\left(x\right)=\left(m-1\right)x^3+\left(m-2\right)x^2-2mx+3=0\)
Để ý rằng tổng hệ số của vế trái bằng 1 nên pt luôn có nghiệm \(x=1\), sử dụng lược đồ Hooc-ne ta phân tích được:
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(m-1\right)x^2+\left(2m-3\right)x-3\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\\left(m-1\right)x^2+\left(2m-3\right)x-3=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1), với \(m=1\Rightarrow x=-3\)
- Với \(m\ne1\Rightarrow\Delta=\left(2m-3\right)^2+12\left(m-1\right)=4m^2-3\)
Nếu \(\left|m\right|< \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\) (1) vô nghiệm \(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có đúng 1 nghiệm
Nếu \(\left|m\right|>\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm \(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm
Lời giải:
\(x\in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]\Rightarrow x^2\leq 2\Rightarrow \sqrt{x^2+1}\leq \sqrt{3}\)
\(y=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}\geq \frac{x+1}{\sqrt{3}}\geq \frac{-\sqrt{2}+1}{\sqrt{3}}\)
Vậy $y_{\min}=\frac{-\sqrt{2}+1}{\sqrt{3}}$ khi $x=-\sqrt{2}$
$y^2=\frac{x^2+2x+1}{x^2+1}=1+\frac{2x}{x^2+1}$
$y^2=2+\frac{2x-x^2-1}{x^2+1}=2-\frac{(x-1)^2}{x^2+1}\leq 2$
$\Rightarrow y\leq \sqrt{2}$
Vậy $y_{\max}=\sqrt{2}$ khi $x=1$
Tìm đạo hàm của hàm số \(y=\dfrac{a^3}{\sqrt{a^2-x^2}}\) (a là hằng số)
Giúp mình với ạ, mình cảm ơnn
\(y'=\dfrac{\left(a^3\right)'.\sqrt{a^2-x^2}-\left(\sqrt{a^2-x^2}\right)'.a^3}{a^2-x^2}=\dfrac{-\dfrac{1}{2\sqrt{a^2-x^2}}\left(a^2-x^2\right)'.a^3}{a^2-x^2}\)
\(y'=\dfrac{x.a^3}{\sqrt{a^2-x^2}\left(a^2-x^2\right)}\)
1/ \(y'=\left(1-3x\right)'\sqrt{x-3}+\left(1-3x\right)\left(\sqrt{x-3}\right)'=-3\sqrt{x-3}+\dfrac{1}{2\sqrt{x-3}}\left(1-3x\right)\)
2/ \(y'=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}-\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}\)
3/ \(y'=\dfrac{1}{2}.\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}.\left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)'=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}.\dfrac{-2}{\left(1+x\right)^2}=-\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}.\dfrac{1}{\left(1+x\right)^2}\)
4/ \(y'=\left(\cos5x\right)'.\cos7x+\cos5x.\left(\cos7x\right)'=-5\sin5x.\cos7x-7\cos5x\sin7x\)
5/ \(y'=\left(\cos x\right)'\sin^2x+\cos x\left(\sin^2x\right)'=-\sin^3x+2\sin x.\cos^2x\)
6/ \(y'=\left(\tan^42x\right)'=4.\tan^32x.\dfrac{2}{\cos^22x}\)
7/ \(y'=\dfrac{2\sin x+2\cos x-2x.\cos x+2x\sin x}{\left(\sin x+\cos x\right)^2}\)
Ờm, bạn tự rút gọn nhé :) Mình đang hơi lười :b
\(y'=\dfrac{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)'}{2\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}=\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}=\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}}{2\sqrt{x^2+1}.\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}{2\sqrt{x^2+1}}\)
Lời giải:
Em không rõ ở phần tìm đạo hàm theo định nghĩa (lim) hay tìm đạo hàm dựa theo công thức
Thông thường lớp 11 thì thường áp dụng luôn công thức
Áp dụng công thức: \((u^{\alpha})'=\alpha.u'.u^{\alpha-1}\) thì:
\(y=(x+\sqrt{1+x^2})^{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow y'=\frac{1}{2}(x+\sqrt{x^2+1})'(x+\sqrt{x^2+1})^{\frac{1}{2}-1}\)
\(=\frac{(x+\sqrt{x^2+1})'}{2\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}(*)\)
\((x+\sqrt{x^2+1})'=x'+(\sqrt{x^2+1})'=1+((x^2+1)^{\frac{1}{2}})'\)
\(=1+\frac{1}{2}(x^2+1)'(x^2+1)^{\frac{1}{2}-1}\)
\(=1+\frac{1}{2}.2x.\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}(**)\)
Từ \((*);(**)\Rightarrow y'=\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}.2\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x^2+1}}\)
ta có : \(y'=\left(\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)'\)
\(=\dfrac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}}\left(1+\dfrac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\left(1+x^2\right)'\right)\) \(=\dfrac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}}\left(1+\dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}\right)\) \(=\dfrac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}}\left(\dfrac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}\right)=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{x+\sqrt{1+x^2}}{1+x^2}}\)