![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) \(6xy+4x-9y-7=0\)
\(\Leftrightarrow2x.\left(3y+2\right)-9y-6-1=0\)
\(\Leftrightarrow2x.\left(3y+x\right)-3.\left(3y+2\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-3\right).\left(3y+2\right)=1\)
Mà \(x,y\in Z\Rightarrow2x-3;3y+2\in Z\)
Tự làm típ
\(A=x^3+y^3+xy\)
\(A=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy\)
\(A=x^2-xy+y^2+xy\)( vì \(x+y=1\))
\(A=x^2+y^2\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovxky ta có :
\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x\cdot1+y\cdot1\right)^2=\left(x+y\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)
Hay \(x^3+y^3+xy\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(x^3-xy+1=2y-x\)
\(\Leftrightarrow x^3+x+1=xy+2y\)
\(\Leftrightarrow x^3+x+1=y\left(x+2\right)\)
\(\Leftrightarrow y=\dfrac{x^3+x+1}{x+2}\)
-Vì \(x,y\) là các số nguyên nên:
\(\left(x^3+x+1\right)⋮\left(x+2\right)\)
\(\Rightarrow\left(x^3+2x^2-2x^2-4x+5x+10-9\right)⋮\left(x+2\right)\)
\(\Rightarrow\left[x^2\left(x+2\right)-2x\left(x+2\right)+5\left(x+2\right)-9\right]⋮\left(x+2\right)\)
\(\Rightarrow\left[\left(x+2\right)\left(x^2-2x+5\right)-9\right]⋮\left(x+2\right)\)
-Vì \(\left(x+2\right)\left(x^2-2x+5\right)⋮\left(x+2\right)\)
\(\Rightarrow9⋮\left(x+2\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+2\right)\in\left\{1;3;9;-1;-3;-9\right\}\)
\(\Rightarrow x\in\left\{-1;1;7;-3;-5;-11\right\}\) (tmđk)
*Với \(x=-1\) thì \(y=\dfrac{\left(-1\right)^3+\left(-1\right)+1}{\left(-1\right)+2}=-1\) (tmđk)
*Với \(x=1\) thì \(y=\dfrac{1^3+1+1}{1+2}=1\)(tmđk)
*Với \(x=7\) thì \(y=\dfrac{7^3+7+1}{7+2}=39\)(tmđk)
*Với \(x=-3\) thì \(y=\dfrac{\left(-3\right)^3+\left(-3\right)+1}{\left(-3\right)+2}=29\)(tmđk)
*Với \(x=-5\) thì \(y=\dfrac{\left(-5\right)^3+\left(-5\right)+1}{\left(-5\right)+2}=43\)(tmđk)
*Với \(x=-11\) thì \(y=\dfrac{\left(-11\right)^3+\left(-11\right)+1}{\left(-11\right)+2}=149\)(tmđk)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(x^2-\left(y-3\right)x-2y-1=0\)
\(\Leftrightarrow y\left(x+2\right)=x^2+3x-1\)
Dễ thây \(x\ne-2\)
\(\Rightarrow y=\frac{x^2+3x-1}{x+2}=x+1-\frac{3}{x+2}\)
Để y nguyên thì x + 2 là ươc của 3 hay
\(\left(x+2\right)=\left\{-3;-1;1;3\right\}\)
\(x^2-\left(y-3\right)x-2y-1=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-xy+3x-2y-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-xy\right)+\left(2x-2y\right)+x-1=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-y\right)+2\left(x-y\right)+\left(x+2\right)-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x-y\right)+\left(x+2\right)=3\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x-y+1\right)=3\)
Ta có x, y \(\in\) Z nên x + 2 là ước của 3 \(\Rightarrow x+2\in\left\{1;3;-1;-3\right\}\). Ta có bảng sau:
x + 2 | x - y + 1 | x | y |
1 | 3 | -1 | -3 |
3 | 1 | 1 | 1 |
-1 | -3 | -3 | 1 |
-3 | -1 | -5 | -3 |
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
#)Giải :
- Nếu x < 0 => y không nguyên
- Nếu x = 0 => y = 0
- Nếu x = 1 => y không nguyên
- Nếu x = 2 => y = 2
- Nếu x > 2 pt => 3x = y3 + 1 ( Vì x > 2 => y3 > 9 )
Ta suy ra \(y^3+1 ⋮ 9 \Rightarrow y^3\div9\)dư 1
\(\Rightarrow y=9k+2\)hoặc \(y=9k+5\)hoặc \(y=9k+8\)( k là số nguyên dương ) (1)
Mặt khác, ta cũng có \(y^3+1 ⋮ 3\)
\(\Rightarrow y=3m+2\)( m nguyên dương ) (2)
Từ (1) và (2) => vô nghiệm ( Vì từ (2) \(\Rightarrow y=9n+6\)không thỏa (1) )
Vậy phương trình có 2 cặp nghiệm nguyên không âm là ( 0;0 ) và ( 2;2 )
\(3^x-y^3=1\Leftrightarrow3^x=1+y^3\left(1\right)\)
- Dễ thấy x=y=0 là nghiệm của (1)
- Nếu x<0 thì \(3^x=\frac{1}{3^n}\)(n nguyên dương, n=-x)
=> \(0< 3^x< 1\). Mà \(y^3+1\)là số nguyên => (1) không có nghiệm nguyên
- Nếu x>0 thì \(3^x⋮3\)
(1) <=> \(3^x=\left(y+1\right)^3-3y\left(y+1\right)\Rightarrow\left(y+1\right)^3⋮3\)nên y+1 \(⋮\)3
Đặt y+1=3k (k nguyên) => y=3k-1
Thay vào (1) ta được: \(3^x=\left(3k-1\right)^3+1=9k\left(3k^2-3k+1\right)\)nên \(3k^2-3k+1\)là ước của \(3^x\)mà
\(3k^2-3k+1⋮̸3\)và \(3k^2-3k+1=3\left(k-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}>0\)
nên \(3k^2-3k+1\)=1 \(\Leftrightarrow3k\left(k-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}k=0\\k=1\end{cases}}\)
Với k=0 thì y=-1 => 3x=0 phương trình vô nghiệm
Với k=1 thì y=2 => 3x=9 nên x=2
Vậy các cặp số nguyên (x;y)={(0;0);(2;2)}