Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{cosA}{a}+\dfrac{cosB}{b}+\dfrac{cosC}{c}\)
\(=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2abc}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2abc}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2abc}\)
\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2abc}\) (đpcm)
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB
c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC
⇒ a2 + b2 + c2 = 2bc.cosA + 2ac.cosB + 2ab.cosC
⇒ VT = \(\dfrac{2bc.cosA}{2abc}+\dfrac{2ab.cosC}{2abc}+\dfrac{2ac.cosB}{2abc}\)
⇒ VT = \(\dfrac{cosA}{a}+\dfrac{cosB}{b}+\dfrac{cosC}{c}\)
Bất đẳng thức cần cm tương đương:
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\).
Mặt khác theo bđt AM - GM (Chú ý a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a + b - c > 0; b + c - a > 0; c + a - b > 0) ta có:
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le\dfrac{\left(a+b-c+b+c-a+c+a-b\right)^3}{27}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\).
Vậy ta có đpcm.
\(cosA=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{\left(2x+1\right)^2+\left(x^2-1\right)^2-\left(x^2+x+1\right)^2}{2\left(2x+1\right)\left(x^2-1\right)}\)
\(=\dfrac{-2x^3-x^2+2x+1}{2\left(2x+1\right)\left(x^2-1\right)}=\dfrac{-\left(2x+1\right)\left(x^2-1\right)}{2\left(2x+1\right)\left(x^2-1\right)}=-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A=120^0\)
Ta có: A = \(sin\dfrac{A}{2}+sin\dfrac{B}{2}+sin\dfrac{C}{2}=cos\dfrac{B+C}{2}+2sin\dfrac{B+C}{4}cos\dfrac{B-C}{4}\)
\(\Leftrightarrow A-2sin\dfrac{B+C}{4}cos\dfrac{B-C}{4}-cos^2\dfrac{B+C}{4}+sin^2\dfrac{B+C}{4}=0\)\(\Leftrightarrow A-2sin\dfrac{B+C}{4}cos\dfrac{B-C}{4}+2sin^2\dfrac{B+C}{4}-1=0\)
Δ' = \(cos^2\dfrac{B-C}{4}-2\left(A-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow A-1\le\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow A\le\dfrac{3}{2}\)
Theo BĐT tam giác ta có:
\(b+c>a\Rightarrow a+b+c>2a\Rightarrow2>2a\Rightarrow a< 1\)
Tương tự cũng có: \(b<1;c<1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\left(\dfrac{1-a+1-b+1-c}{3}\right)^3=\left(\dfrac{3-\left(a+b+c\right)}{3}\right)^3=\dfrac{1}{27}\)
\(\Rightarrow0< \left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\dfrac{1}{27}\)
\(\Rightarrow0< ab+bc+ca-abc-\left(a+b+c\right)+1\le\dfrac{1}{27}\)
\(\Rightarrow0< ab+bc+ca-abc-1\le\dfrac{1}{27}\)
\(\Rightarrow1< ab+bc+ca-abc\le\dfrac{28}{27}\)
\(\Rightarrow2< 2ab+2bc+2ca+a^2+b^2+c^2-\left(a^2+b^2+c^2+2abc\right)\le\dfrac{56}{27}\)
\(\Rightarrow2< \left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2+2abc\right)\le\dfrac{56}{27}\)
\(\Rightarrow2< 4-\left(a^2+b^2+c^2+2abc\right)\le\dfrac{56}{27}\)
\(\Rightarrow\dfrac{52}{27}\le a^2+b^2+c^2+2abc< 2\) *Đúng*
bx gửi đc hết đề luôn -.- mà tại bị lỗi gì đấy rồi TT.TT má :v buồn ghê luôn >v< tại ảnh lấy bên messenger còn phải save rôi edit tùm lum nữa nên chỉ gửi đc đề toán thoi =="