Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt{2020a+\frac{\left(b-c\right)^2}{2}}\le\sqrt{2020a+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}}=\sqrt{2020a+\frac{\left(1010-a\right)^2}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{2}\left(a^2+2020a+1010^2\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a+1010\right)\)
=> \(VT\le\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a+b+c+3.1010\right)=2020\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=1010;b=0;c=0 và các hoán vị
Nguyễn Thu Huyền Chỗ nào có \(\le\) thì chuyển thành \(\ge\) nhé. Thế là ok. Tại mk bấm nhầm 
\(\text{Ta có }:a^2+ab+b^2=\left(a^2+2ab+b^2\right)-ab\\ =\left(a+b\right)^2-ab\overset{BĐT\text{ }Cô-si}{\le}\left(a+b\right)^2-\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2\\ \Rightarrow\sqrt{a^2+ab+b^2}\le\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b\right)\)
Tương tự : \(\sqrt{b^2+bc+c^2}\le\frac{\sqrt{3}}{2}\left(b+c\right)\)
\(\sqrt{a^2+ac+c^2}\le\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+c\right)\\ \Rightarrow\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{a^2+ac+c^2}\\ \le\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}\left(b+c\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+c\right)\\= \frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b+b+c+a+c\right)=\sqrt{3}\left(a+b+c\right)=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\a=c\\a+b+c=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
\(\sum\frac{a}{a+\sqrt{2021a+bc}}=\sum\frac{a}{a+\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\sum\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le_{C-S}\sum\frac{a}{a+\sqrt{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\right)^2}}=\sum\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\sum\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)
\(P=\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}+\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}+\sqrt{3c^2+2ab+3b^2}\)
\(=\sqrt{2\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2}+\sqrt{2\left(b+c\right)^2+\left(b-c\right)^2}+\sqrt{2\left(c+a\right)^2+\left(c-a\right)^2}\)
\(\ge2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt{2}\left(2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}-3\right)=6\sqrt{2}\)
Vậy GTNN của P là \(6\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Sửa đề: GTLN
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{a}{a+\sqrt{2019a+bc}}=\frac{a}{a+\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\frac{a}{a+\sqrt{a^2+ab+ca+bc}}\)
\(=\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{a}{a+\sqrt{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\right)^2}}\)
\(=\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{b}{b+\sqrt{2019b+ac}}\le\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}};\frac{c}{c+\sqrt{2019c+ab}}\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(P\le\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)
\(M=\sqrt{a^2+2ab+b^2+b^2}+\sqrt{b^2+2bc+c^2+c^2}+\sqrt{c^2+2ca+a^2+a^2}\)
\(M=\sqrt{\left(a+b\right)^2+b^2}+\sqrt{\left(b^{ }+c\right)^2+c^2}+\sqrt{\left(c+a\right)^2+a^2}\)
\(M\ge\sqrt{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\ge\sqrt{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2+3^2}\ge\sqrt{6^2+3^2}\ge3\sqrt{5}\)
\(dấu\)\("="xảy\) \(ra\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Cách khác:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$5(a^2+2ab+2b^2)=[(a+b)^2+b^2](2^2+1^2)\geq [2(a+b)+b]^2$
$\Rightarrow \sqrt{5(a^2+2ab+b^2)}\geq 2a+3b$
Tương tự với các căn thức còn lại và cộng theo vế:
$M\sqrt{5}\geq 5(a+b+c)$
$\Leftrightarrow M\geq \sqrt{5}(a+b+c)=3\sqrt{5}$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
\(a,\sqrt{64a^2}+2a\left(a\ge0\right)\\ < =>\sqrt{8^2.a^2}+2a\\ < =>\sqrt{\left(8a\right)^2+2a}\\ < =>\left|8a\right|+2a\\ < =>8a+2a\\ < =>10a\left(TM\right)vìa\ge0\)
\(b,3\sqrt{9a^6}-6a^3\left(a\in R\right)\\ < =>3\sqrt{\left(3a^2\right)^2}-6a^3\\ < =>3\left|3a^3\right|-6a^3\\ \)
Nếu \(a\ge0\) thì giá trị của biểu thức là:
\(3.3a^2-6a^2\\ =9a^3-6a^3\\ =3a^3\)
Nếu a<0 thì giá trị của biểu thức là:
\(3\left(-3a^3\right)-6a^3=-9a^3\\ =-6a^3=-15a^3\)
\(c,\sqrt{a^2+6a+9}+\sqrt{a^2-6a+9}\left(a\ge3\right)\\ =\sqrt{\left(a+3\right)^2}+\sqrt{\left(a-3\right)^2}\\ =\left|a+3\right|+\left|a-3\right|\\ =a+3+a-3\\ =2a\)
a) Để B = A + 1 thì:
\(\frac{\sqrt{x^3}-\sqrt{x}+2x-2}{\sqrt{x}+2}=\frac{2x-3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}+1\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}̣\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}+2}=\frac{2x-3\sqrt{x}-2+\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}+2}=\frac{2x-2\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-2}\)
\(\Leftrightarrow x-1=\frac{2\left(x-\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-2}\)
\(\Leftrightarrow x-1=\frac{2\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-2}\)
\(\Leftrightarrow x-1=2\left(\sqrt{x}+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}-1-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2-\left(\sqrt{2}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}-1+\sqrt{2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=1+\sqrt{2}\\\sqrt{x}=1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) ( Loại \(\sqrt{x}=1-\sqrt{2}\) vì \(\sqrt{x}\ge0\) )
Vậy \(x=3+2\sqrt{2}\)
b) Ta có: B = x -1 ( theo kết quả rút gọn ở câu a )
\(A=\frac{2x-3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-2}=2\sqrt{x}+1\)
Do đó: \(C=B-A=x-1-2\sqrt{x}-1\)
\(C=\left(x-2\sqrt{x}+1\right)-3\)
\(C=\left(\sqrt{x}-1\right)^2-3\ge-3\) với mọi x
Dấu bằng xảy ra khi: \(\sqrt{x}-1=0\Rightarrow x=1\)
Vậy min C = -3 khi và chỉ khi x = 1
b) đk: ...\(A=\frac{2x-3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}=\frac{2x-4\sqrt{x}+\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}=\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)+\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-2}=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-2}=2\sqrt{x}+1\)
\(B=\frac{\sqrt{x^3}-\sqrt{x}+2x-2}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}+2}=\frac{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}+2}=x-1\)biết B=A-1=>\(x-1=2\sqrt{x}+1+1\) giải nốt ra đc nghiệm x=9
KL: vậy ...
\(=\sqrt{3\left(a+b\right)^2+2016\left(a-b\right)^2}+\sqrt{3\left(b+c\right)^2+2017\left(b-c\right)^2}+\sqrt{3\left(c+a\right)^2+2018\left(c-a\right)^2}\)
\(\ge2\sqrt{3}\left(a+b+c\right)\ge\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\ge6\sqrt{3}\)