Question

[Thầy Cao Đô]

Giải phương trình

$\sqrt{5x^2 + 27x + 25} - 5\sqrt{x+1} = \sqrt{x^2 - 4}.$

Answer 1

[Nguyễn Thị Nguyệt]

Answer 2

[Hoàng Yến Như]

ĐKXĐ: $x\ge 2$

Chuyển vế và bình phương hai vế:

$\sqrt{5x^2+27x+25}-5\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2-4}$

$\iff \sqrt{5x^2+27x+25}=\sqrt{x^2-4}+5\sqrt{x+1}$

$\iff 5x^2+27x+25=x^2-4+25x+25+10\sqrt{(x+1)(x^2-4)}$

$\iff 4x^2+2x+4=10\sqrt{(x+1)(x^2-4)}$

$\iff 2(x^2-x-2)+3(x+2)=5\sqrt{(x+1)(x^2-4)}$

Đặt $a=\sqrt{x^2-x-2}\ge 0;$ $b=\sqrt{x+2}\ge 0$.

Phương trình trở thành 5ab = 2a^2 + 3b^2 \Leftrightarrow (a-b)(2a-3b) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & a = b\\ & 2a = 3b\\ \end{aligned}\right..

+ Với $a=b$ thì \sqrt{x^2 - x - 2} = \sqrt{x+2} \Leftrightarrow x^2 - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = 1-\sqrt5 \ \text{(loại)}\\ & x = 1+\sqrt5 \ \text{(thỏa mãn)}\\ \end{aligned}\right..

+ Với $2a=3b$ thì $2\sqrt{x^2-x-2}=3\sqrt{x+2}$

\Leftrightarrow 4x^2 - 13x - 26 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = \dfrac{13 + 3\sqrt{65}}8 \ \text{(thỏa mã)n}\\ & x = \dfrac{13 - 3\sqrt{65}}8 \ \text{(loại)}\\ \end{aligned}\right..

Vậy phương trình có hai nghiệm $x=1+\sqrt{5}$, $x=\genfrac{}{}{0ex}{}{13+3\sqrt{65}}{8}$.