Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đề bài: Giải hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}y^3-12y-x^3+6x^2-16=0\left(1\right)\\4y^2+2\sqrt{4-y^2}-5\sqrt{4x-x^2}+6=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\).
Giải:
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}0\le x\le4\\-2\le y\le2\end{matrix}\right.\).
\(\left(1\right)\Leftrightarrow y^3-12y=\left(x-2\right)^3-12\left(x-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2-y\right)\left[\left(x-2\right)^2+\left(x-2\right)y+y^2-12\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y+2\\x^2+xy+y^2-4x-2y-8=0\end{matrix}\right.\).
+) TH1: \(x=y+2\): Thay vào (2) ta được:
\(4y^2+2\sqrt{4-y^2}-5\sqrt{4\left(y+2\right)-\left(y+2\right)^2}+6=0\)
\(\Leftrightarrow4y^2+2\sqrt{4-y^2}-5\sqrt{4-y^2}+6=0\)
\(\Leftrightarrow4y^2+6=3\sqrt{4-y^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(4y^2+6\right)^2=9\left(4-y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow16y^4+57y^2=0\)
\(\Leftrightarrow y=0\Rightarrow x=2\) (TMĐK).
+) TH2: \(x^2+xy+y^2-4x-2y-8=0\):
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+y^2+\left(x-2\right)y=12\).
Do VT \(\le12\) (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 4; y = 2 hoặc x = 0; y = -2).
Do đó \(\left[{}\begin{matrix}x=4;y=2\\x=0;y=-2\end{matrix}\right.\).
Thử lại không có gt nào thỏa mãn.
Vậy...
a) \(x^3-4x^2-5x+6=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}\)
\(\Leftrightarrow-7x^2-9x+4+x^3+3x^2+4x+2=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}\)
\(\Leftrightarrow-\left(7x^2+9x-4\right)+\left(x+1\right)^3+x+1=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}\) (*)
Đặt \(\sqrt[3]{7x^2+9x-4}=a;x+1=b\)
Khi đó (*) \(\Leftrightarrow-a^3+b^3+b=a\)
\(\Leftrightarrow\left(b-a\right).\left(b^2+ab+a^2+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow b=a\)
Hay \(x+1=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3=7x^2+9x-4\)
\(\Leftrightarrow x^3-4x^2-6x+5=0\)
\(\Leftrightarrow x^3-4x^2-5x-x+5=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x^2+x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)
ĐKXĐ: ...
Phương trình đầu tương đương:
\(2y^3+y=2\sqrt{1-x}-2x+\sqrt{1-x}\)
\(\Leftrightarrow2y^3+y=2\left(1-x\right)\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x}\)
Đặt \(\sqrt{1-x}=a\ge0\)
\(\Rightarrow2y^3+y=2a^3+a\)
Hàm \(f\left(t\right)=2t^3+t\) có \(f'\left(t\right)=6t^2+1>0\) ;\(\forall t\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến
\(\Rightarrow y=a\Leftrightarrow y=\sqrt{1-x}\Rightarrow y^2=1-x\) (với \(y\ge0\))
Thế xuống pt dưới:
\(\sqrt{4x+5}=2x^2-6x-1\)
Đặt \(\sqrt{4x+5}=2t-3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2t-3=2x^2-6x-1\\4x+5=4t^2-12t+9\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=x^2-3x+1\\x=t^2-3t+1\end{matrix}\right.\)
Hệ đối xứng, chắc tới đây bạn giải quyết được phần còn lại
Điều kiện: \(\hept{\begin{cases}4-y^2\ge0\\4x-x^2\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-2\le y\le2\\0\le x\le4\end{cases}}}\)
Ta có:
\(y^3-12y-x^3+6x^2-16=0\)
\(\Leftrightarrow y^3-\left(x^3-6x^2+12x-8\right)-12y+12x-24=0\)
\(\Leftrightarrow y^3-\left(x-2\right)^3-12\left(-x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-x+2\right)\left(y^2+y\left(x-2\right)+\left(x-2\right)^2\right)-12\left(-x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(-x+y+2\right)\left(x^2+xy-4x+y^2-2y-8\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y+2\\x^2+xy-4x+y^2-2y-8=0\end{cases}}\)
Ta có: \(x^2+xy-4x+y^2-2y-8\)
\(=\left(x^2-4x\right)+\left(y^2-4\right)+y\left(x-2\right)-4\)
\(\le0+0+0=0\)(Vì \(x-2\le2\Rightarrow y\left(x-2\right)\le4\))
Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=-2\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x=4\\y=2\end{cases}}\).
Thế 2 trường hợp này vào phương trình (2) đều không thỏa.
TH \(x=y+2\)thế vào (2) ta có:
\(4y^2+2\sqrt{4-y^2}-5\sqrt{4-y^2}+6=0\)
\(\Leftrightarrow4y^2-16-3\sqrt{4-y^2}+22=0\)
\(\Leftrightarrow-4\left(4-y^2\right)-3\sqrt{4-y^2}+22=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{4-y^2}=2\)(vì \(\sqrt{4-y^2}\ge0\))
\(\Leftrightarrow y=0\)
Với \(y=0\Rightarrow x=2\).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left(x,y\right)=\left(2,0\right)\).