Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Mọi ngừi chia sẻ bài viết của page trên Facebook giúp mình với!
Để hưởng ứng phong trào của QA đẹp zai mình cũng xin set avt nhé
Ta có:\( \widehat{BIJ}=\widehat{BAI}+\widehat{ABI}\)
\(=\widehat{IAC}+\widehat{IBC}\) (I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC)
Xét (O) : \(\widehat{JAC}=\widehat{JBC}\)
Nên \( \widehat{BIJ}=\widehat{JBC}+\widehat{IBC}=\widehat{IBJ}\)
Suy ra tam giác BIJ cân tại J nên JB=JI
J ∈đường trung trực của BI
Chứng minh tương tự có: JI=JC nên J ∈đường trung trực của IC
Suy ra J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC
b, Xét O có \(\widehat{JBK} =90^o\)
nên tam giác JBK vuông tại B
BE là đường cao (OB=OC;JB=JC nên OJ trung trực BC)
suy ra \(JB^2=JE.JK\) hay \(JI^2=JE.JK\)
b, Xét (O) có\( \widehat{SBJ}=\widehat{BAJ}=\widehat{JBC} \)(góc tạo bởi tia tt và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung JB)
suy ra BJ là đường phân giác trong\( \widehat{SBE}\)
\(BJ⊥ BK \)nên BK là đường phân giác ngoài tam giác SBE
suy ra\( \dfrac{SJ}{JE}=\dfrac{SK}{EK}\)
hay \(SJ.EK=SK.JE\)
c, Đặt L là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ABC suy ra A;J;L thẳng hàng
CL phân giác ngoài góc C;CI phân giác ngoài góc C
suy ra 
JI=JC nên \(\widehat{JIC}=\widehat{JCI}\)
\( \widehat{JIC}+ \widehat{ILC}=90^o\)
\(\widehat{JCI}+ \widehat{JCL}=90^o\)
nên \(\widehat{ILC}= \widehat{JCL}\)
suy ra JC=JL nên J là trung điểm IL
Có:\( \widehat{ACL}=\widehat{ACI}+90^o\)
\(\widehat{AIB}=\widehat{ACI}+90^o\)
nên \(\widehat{ACL}=\widehat{AIB}\)
Lại có: \(\widehat{LAC}=\widehat{BAI}\)
nên tam giác ABI \(\backsim\) tam giác ALC
suy ra \(AB.AC=AI.AL\)
Có trung tuyến SB SC cát tuyến SDA nên tứ giác ABDC là tứ giác điều hòa với \(AB.DC=BD.AC=\dfrac{1}{2}.AD.BC\)
suy ra \(BD.AC=AD.EC\)
cùng với\( \widehat{BDA}=\widehat{ECA}\)
nên tam giác ABD đồng dạng AEC
suy ra \(AB.AC=AD.AE;\widehat{BAD}=\widehat{EAC}\)
vậy \(AD.AE=AI.AL;\widehat{DAI}=\widehat{LAE}\) (do AJ là phân giác góc A)
từ đây suy ra tam giác ADI\( \backsim\) tam giác ALE
nên \(\widehat{ADI}=\widehat{ALE}\)
mà \( \widehat{ADI}= \widehat{AJM}=\widehat{ALE}\)
nên JM//LE
J là trung điểm IL nên JM đi qua trung điểm IE (đpcm)
Câu 285
a) ĐKXĐ: $x\le 10.$
\(PT\Leftrightarrow\left(\dfrac{x^3+7x^2+18x+4}{\sqrt{10-x}}-10\right)+\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\dfrac{\left(x^5+15x^4+100x^3+360x^2+740x+984\right)}{\sqrt{10-x}\left(x^3+7x^2+8x+4+10\sqrt{10-x}\right)}+1\right]=0\)
Rõ ràng biểu thức trong ngoặc vuông vô nghiệm.
Vậy $x=1$ (TMĐKXĐ)
b) Đặt $t=ab+bc+ca.$
\(a,b,c\in\left[0,1\right]\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab\ge a+b-1.\) (1)
Từ (1) suy ra \(3abc\ge\sum c\left(a+b-1\right)=2t-\left(a+b+c\right)\ge2t-3\)
Cũng do $a,b,c\in \left[0,1\right]$ suy ra \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le0\Rightarrow abc\le\sum\left(ab-a\right)+1\)
Do đó"\(VT\le\sum\dfrac{a}{1+bc}+\sum\left(ab-a\right)+1\)
\(=\sum\left(\dfrac{a}{1+bc}-a\right)+\sum ab+1\)
\(=-abc\sum\dfrac{1}{1+bc}+ab+bc+ca+1\)
\(\le t+1-\dfrac{9abc}{t+3}\le t+1-\dfrac{3\left(2t-3\right)}{t+3}\le\dfrac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(2t-3\right)\left(3-t\right)\ge0\)
Do \(t\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\) nên nếu $ab+bc+ca\ge \dfrac{3}{2}$ thì bất đẳng thức đúng.
Trong trường hợp ngược lại ta có \(VT\le t+1-\dfrac{9abc}{t+3}\le t+1\le\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{5}{2}\) (đpcm)
Hoàn tất chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi (bạn đọc tự xét)
290
Ta có \(\dfrac{a^4b}{a^2+1}=a^2b-\dfrac{a^2b}{a^2+1}\ge a^2b-\dfrac{a^2b}{2a}=a^2b-\dfrac{ab}{2}\)
Chứng minh tương tự ta được:
\(\dfrac{b^4c}{b^2+1}\ge b^2c-\dfrac{bc}{2};\dfrac{c^4a}{c^2+1}\ge c^2a-\dfrac{ca}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^4b}{a^2+1}+\dfrac{b^4c}{b^2+1}+\dfrac{c^4a}{c^2+1}\ge a^2b+b^2c+c^2a-\dfrac{ab}{2}-\dfrac{bc}{2}-\dfrac{ca}{2}\)
Áp dụng bđt Cô-si:
\(a^2b+a^2b+b^2c\ge3\sqrt[3]{a^2b\cdot a^2b\cdot b^2c}=3\sqrt[3]{a^3b^3\cdot abc}=3ab\)
Tương tự: \(b^2c+b^2c+c^2a\ge3bc;c^2a+c^2a+a^2b\ge3ca\)
\(\Rightarrow a^2b+a^2b+b^2c+b^2c+b^2c+c^2a+c^2a+c^2a+a^2b\ge3ab+3bc+3ca\Rightarrow3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^4b}{a^2+1}+\dfrac{b^4c}{b^2+1}+\dfrac{c^4a}{c^2+1}\ge a^2b+b^2c+c^2a-\dfrac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge ab+bc+ca-\dfrac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)=\dfrac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=\dfrac{3}{2}\) Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vẫn còn 18 form mình chưa chấm xong, BXH sẽ được cập nhật đúng nhất tối nay nhé :D
23