![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng Bđt Cô si 3 số dương ta có:
\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a3+b3+c3 - 3abc >= 0
<=>(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) >= 0
bn tự c/m ngoặc thứ 2 >= 0 (nhân 2 vào),có a+b+c >= 0 ->đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
CMR:a3+b3+c3\(\ge\)3abc với a,b,c>0
+)Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si của ba số nguyên dương ta có:
a3+b3+c3\(\ge\)\(\sqrt[3^3]{a^3b^3c^3}\)
Mà \(\sqrt[3^3]{a^3b^3c^3}\)=3abc
=>a3+b3+c3\(\ge\)3abc
Bất đẳng thức xảy ra khi a=b=c(ĐPCM)
Chúc bn học tốt
C1 : Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương \(a^3,b^3,c^3\) ta được :
\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3.b^3.c^3}=3abc\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
C2 : ta xét hiệu : \(a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\) (1)
Ta thấy \(\left(1\right)\ge0\) \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3abc\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(giải:\)
\(a^3\)\(+b^3\)\(+c^3\)\(\ge3abc\)
\(\Rightarrow a^3\)\(+b^3\)\(+c^3\)\(-3abc\ge0\)
\(\Rightarrow a^3\)\(+b^3\)\(+c^3\)\(-3abc+3a^2b+3ab^2-3a^2b-3ab^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\right)+c^3-\left(3abc+3a^2b+3ab^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(c+a+b\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2-3ab\right]\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\right]\ge0\)(luôn đúng \(\forall\)a,b,c\(\ge0\))
hay \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\left(đpcm\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(a^3+b^3+c^3-3abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3a^2b+3ab^2-3abc-3a^2b-3ab^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)\)\(-3ab\left(a+b+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\ge0\)
Do đó: \(\hept{\begin{cases}a+b+c\ge0\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\ge0\left(1\right)\end{cases}}\)
ta có: (1)\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2ac\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)( luôn đúng với mọi a,b,c)
Vậy để bất đẳng thức đã cho xảy ra thì \(a+b+c\ge0\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bđt cô si dạng engel cho 3 số dương:
\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)
Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi a = b = c
Chúc bạn học tốt!
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
C1 : Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số không âm ta được :
\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
C2 : Sử dụng biến đổi tương đương :
Ta có :\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge0\) ( luôn đúng )
Do đó có : \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Xét hiệu \(a^3+b^3+c^3-3abc\) ta có:
\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right).c.\left(a+b+c\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b+c\right)^2-3\left(a+b\right).c-3ab\right]\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3ac-3bc-3ab\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\right]\)
Vì \(a,b,c\ge0\)\(\Rightarrow a+b+c\ge0\)
mà \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\right]\ge0\)
hay \(a^3+b^3+c^3-3abc\ge0\)\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3abc\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=b=c=0\\a=b=c\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow a=b=c\ge0\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\)
Xảy ra khi \(a=b\)
b)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Xảy ra khi \(a=b=c\)
c)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)
Xảy ra khi \(a=b=c\)
==" s t nhớ là bất đẳng thức cosi dùng cho số dương nhỉ ?
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
<=>\(a^2-2ab+b^2\ge0\)
<=>\(a^2+b^2\ge2ab\)
b) Ta có\(\left(a-b\right)^2\ge0\)(1)
\(\left(b-c\right)^2\ge0\)(2)
\(\left(a-c\right)^2\ge0\)(3)
Cộng vế với vế ba đẳng thức (1),(2),(3) ta đc
\(a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+a^2+c^2-2ac\ge0\)
<=>\(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ac\)
<=>\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\ge0\)
Bài thiếu điều kiện \(a+b+c\ge0\)
Dễ dàng chứng minh \(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\ge0\)nên ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a=b=c=0\end{cases}}\)
Cách này có được không ta?
Đặt \(\left(a^3;b^3;c^3\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\) và thêm đk a,b,c>0
Chuẩn hóa x + y + z = 1 (*) thì ta cần chứng minh:
\(1\ge3\sqrt{xyz}\Leftrightarrow f\left(x;y;z\right)=1-27xyz\ge0\)
Ta nhận thấy nếu thay x và y bởi \(t=\frac{\left(x+y\right)}{2}\) thì (*) vẫn thỏa mãn.
Ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=t^2\)
Suy ra \(f\left(x;y;z\right)\ge1-27t^2z=f\left(t;t;z\right)\)
Thay x;y bởi \(t=\frac{\left(x+y\right)}{2}\) vào (*) suy ra được: \(z=1-2t\)
Khi đó ta cần chứng minh: \(f\left(t;t;z\right)=1-27t^2\left(1-2t\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow54t^3-27t^2+1\ge0\Leftrightarrow\left(6t+1\right)\left(3t-1\right)^2\ge0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi x = y và t = 1/3 tương đương với x = y =z =1/3
Tương đương với x = y =z (do đầu bài ta chuẩn hóa x + y + z = 1)
Tức là a = b =c