K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HP
12 tháng 2 2017
a3+b3+c3 - 3abc >= 0
<=>(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) >= 0
bn tự c/m ngoặc thứ 2 >= 0 (nhân 2 vào),có a+b+c >= 0 ->đpcm
AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 5 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\frac{a^3}{bc}+b+c\geq 3\sqrt[3]{a^3}=3a\)
\(\frac{b^3}{ca}+c+a\geq 3\sqrt[3]{b^3}=3b\)
\(\frac{c^3}{ab}+a+b\geq 3\sqrt[3]{c^3}=3c\)
Cộng theo vế thu được:
\(\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab}+2(a+b+c)\geq 3(a+b+c)\)
\(\Rightarrow \frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab}\geq a+b+c\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
9 tháng 4 2019
\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\ge0\)
Bài thiếu điều kiện \(a+b+c\ge0\)
Dễ dàng chứng minh \(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\ge0\)nên ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a=b=c=0\end{cases}}\)
T
10 tháng 4 2019
Cách này có được không ta?
Đặt \(\left(a^3;b^3;c^3\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\) và thêm đk a,b,c>0
Chuẩn hóa x + y + z = 1 (*) thì ta cần chứng minh:
\(1\ge3\sqrt{xyz}\Leftrightarrow f\left(x;y;z\right)=1-27xyz\ge0\)
Ta nhận thấy nếu thay x và y bởi \(t=\frac{\left(x+y\right)}{2}\) thì (*) vẫn thỏa mãn.
Ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=t^2\)
Suy ra \(f\left(x;y;z\right)\ge1-27t^2z=f\left(t;t;z\right)\)
Thay x;y bởi \(t=\frac{\left(x+y\right)}{2}\) vào (*) suy ra được: \(z=1-2t\)
Khi đó ta cần chứng minh: \(f\left(t;t;z\right)=1-27t^2\left(1-2t\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow54t^3-27t^2+1\ge0\Leftrightarrow\left(6t+1\right)\left(3t-1\right)^2\ge0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi x = y và t = 1/3 tương đương với x = y =z =1/3
Tương đương với x = y =z (do đầu bài ta chuẩn hóa x + y + z = 1)
Tức là a = b =c
4 tháng 4 2018
Đặt A=\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)
\(A+3=\dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{c+a}+1+\dfrac{c}{a+b}+1\)
\(A+3=\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a}+\dfrac{a+b+c}{a+b}\)
\(A+3=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\)
CM:\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\)(tự cm)
Áp dụng:\(\Rightarrow A+3\ge\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{9}{a+b+b+c+c+a}\right)=\dfrac{9}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
6 tháng 2 2020
CMR:a3+b3+c3\(\ge\)3abc với a,b,c>0
+)Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si của ba số nguyên dương ta có:
a3+b3+c3\(\ge\)\(\sqrt[3^3]{a^3b^3c^3}\)
Mà \(\sqrt[3^3]{a^3b^3c^3}\)=3abc
=>a3+b3+c3\(\ge\)3abc
Bất đẳng thức xảy ra khi a=b=c(ĐPCM)
Chúc bn học tốt
TT
6 tháng 2 2020
C1 : Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương \(a^3,b^3,c^3\) ta được :
\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3.b^3.c^3}=3abc\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
C2 : ta xét hiệu : \(a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\) (1)
Ta thấy \(\left(1\right)\ge0\) \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3abc\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
LT
1
31 tháng 5 2018
Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
VH
0
UI
16 tháng 9 2019
<=> \(\frac{b+c-a}{2a}+1+\frac{a-b+c}{2b}+1+\frac{a+b-c}{2c}+1\ge\frac{3}{2}+3\)
<=> \(\frac{a+b+c}{2c}+\frac{a+b+c}{2b}+\frac{a+b+c}{2c}\ge\frac{9}{2}\)
<=> \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
<=> \(\frac{a}{a}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{c}{c}\ge9\)
<=> \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge6\)
Ap dung bdt \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Suy ra ve trai >= 2.3=6=ve phai
=> DPCM
Dau = xay ra <=> a=b=c
mik phai di hoc nen tra loi tat mong ban thong cam
14 tháng 7 2017
a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\)
Xảy ra khi \(a=b\)
b)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Xảy ra khi \(a=b=c\)
c)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)
Xảy ra khi \(a=b=c\)
LT
22 tháng 2 2018
==" s t nhớ là bất đẳng thức cosi dùng cho số dương nhỉ ?
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
<=>\(a^2-2ab+b^2\ge0\)
<=>\(a^2+b^2\ge2ab\)
b) Ta có\(\left(a-b\right)^2\ge0\)(1)
\(\left(b-c\right)^2\ge0\)(2)
\(\left(a-c\right)^2\ge0\)(3)
Cộng vế với vế ba đẳng thức (1),(2),(3) ta đc
\(a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+a^2+c^2-2ac\ge0\)
<=>\(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ac\)
<=>\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
Áp dụng Bđt Cô si 3 số dương ta có:
\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Đpcm