Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử √a là số hữu tỉ thì √a viết được thành √a = m/n với m, n ∈ N, (n ≠ 0) và ƯCLN (m, n) = 1
Do a không phải là số chính phương nên m/n không phải là số tự nhiên, do đó n > 1.
Gọi p là một ước nguyên tố của n thì m2 ⋮ p, do đó m ⋮ p. Như vậy p là ước nguyên tố của m và n, trái với giả thiết ƯCLN (m, n) = 1. Vậy √a là số vô tỉ.
Giả sử \(\sqrt{a}\) là số hữu tỉ thì nó viết được dưới dạng:
\(\sqrt{a}\) = \(\dfrac{m}{n}\) với m,n \(\in\)N, (m,n) = 1
Do a không là số chính phương nên \(\dfrac{m}{n}\) không là số tự nhiên , do đó n > 1
Ta có:
m2= a.n2.
Gọi p là ước nguyên tố nào đó của n , thì m2\(⋮\) p , do đó m \(⋮\) p . Như vậy p là ước nguyên tố của m và n, trái với (m,n)=1
Vậy \(\sqrt{a}\) phải là số vô tỉ
Giả sử \(\sqrt{a}\) là số hữu tỉ .
Đặt \(\sqrt{a}=\dfrac{x}{y}\) [\(x;y\in N\),\(y\ne0\) và \(\left(x;y\right)=1\)]
\(\Rightarrow a=\dfrac{x^2}{y^2}\Rightarrow a\cdot y^2=x^2\)
Vì x2 là 1 số chính phương nên a.y2 viết được dưới dạng tích của các số với lũy thừa bằng 2
Mà x; y nguyên tố cùng nhau nên a viết được dưới dạng lũy thừa bằng 2 => a là số chính phương (trái với giả thiết)
=> Giả thiết này sai
=>\(\sqrt{a}\) là 1 số vô tỉ
Giả sử \(\sqrt{a}\) là một số hữu tỉ thì \(\sqrt{a}\)=\(\frac{m}{n}\) với (m,n)=1
Khi đó \(a^2=\frac{m^2}{n^2}\)
Vì a là số tự nhiên nên \(m^2⋮n^2\)
hay là \(m⋮n\) ( trái với điều kiện (m,n)=1)
=> ĐPCM
ta có: ak2 là một số chính phương
<=>\(\sqrt{k}=...\)
khi \(\sqrt{k}\) <=> k là một số thập phân bất kì có chu kì thì a theo \(\sqrt{k}\) thì a phải là một số vô tỉ
các bạn thấy mình giải có đúng ko
Giả sử √aa là số hữu tỉ .
Đặt √a=pqa=pq (p; q ∈∈ N; q khác 0 và (p;q) = 1)
=> a=p2q2a=p2q2 => a.q2 = p2
Vì p2 là số chính phương nên a.q2 viết được dưới dạng tích của các số với lũy thừa bằng 2
Mà p; q nguyên tố cùng nhau nên a viết được dưới dạng lũy thừa bằng 2 => a là số chính phương (trái với giả thiết)
=> Điều giả sử sai
Vậy √aa là số vô tỉ
Giả sử \(\sqrt{a}\) là số hữu tỉ .
Đặt \(\sqrt{a}=\frac{p}{q}\) (p; q \(\in\) N; q khác 0 và (p;q) = 1)
=> \(a=\frac{p^2}{q^2}\) => a.q2 = p2
Vì p2 là số chính phương nên a.q2 viết được dưới dạng tích của các số với lũy thừa bằng 2
Mà p; q nguyên tố cùng nhau nên a viết được dưới dạng lũy thừa bằng 2 => a là số chính phương (trái với giả thiết)
=> Điều giả sử sai
Vậy \(\sqrt{a}\) là số vô tỉ
Giả sử √a không là số vô tỉ => √a là số hữu tỉ
Đặt \(\sqrt{a}=\frac{m}{n}\) (m, n ∈ N), (m, n) = 1
(Vì a không là SCP => n > 1)
\(\Rightarrow a=\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow m^2=an^2\) (*)
Gọi p là ước nguyên tố nào đó của n.
Kết hợp với (*) => m2 ⋮ p => m ⋮ p (vì p là số nguyên tố)
Có m và n ⋮ p. Điều này trái với (m, n) = 1
=> Điều giả sử là sai.
Vậy √a với a là STN không chính phương là 1 số vô tỉ.
