Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(S_n=1-\dfrac{1}{n^2}\) xét tổng \(U_n=\dfrac{1}{n^2}\) với n >=2
cơ bản có \(\dfrac{1}{n^2}< \dfrac{1}{n\left(n-1\right)}=\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\)
<=>\(U< 1-\dfrac{1}{n-1}\)
cơ bản có \(\dfrac{1}{n^2}>\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\)
<=>\(U>1-\dfrac{1}{n+1}\)
<=>\(1-\dfrac{1}{n-1}< U< 1-\dfrac{1}{n+1}\)
với n >2 => 1/(n-1) ; 1/(n+1) là hai phân số <1
=> U không phải là số nguyên
=> S không là số nguyên => dpcm
Ta có:
\(\dfrac{1}{2^2}< \dfrac{1}{1.2}\)
\(\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2.3}\)
\(\dfrac{1}{4^2}< \dfrac{1}{3.4}\)
...
\(\dfrac{1}{n^2}< \dfrac{1}{n\left(n-1\right)}\)
\(\Rightarrow P< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{n\left(n-1\right)}\)
\(\Rightarrow P< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\)
\(\Rightarrow P< 1-\dfrac{1}{n}< 1\)
\(\Rightarrow P< 1\)
\(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{n\left(n-1\right)}\\ A< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n}< 1\left(\dfrac{1}{n}>0\right)\)
Ta có \(\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{2.2}< \dfrac{1}{1.2};\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{3.3}< \dfrac{1}{2.3};...;\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{1}{n.n}< \dfrac{1}{\left(n-1\right)n}\)
Do đó \(a< 1+\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)n}=1+\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+...+\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\right)\)
\(=1+1-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n}< 2\) . Suy ra \(1< a< 2\)
Vậy \(a\) khôg phải số tự nhiên
Câu hỏi của Nguyễn Thái Hà - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
Bạn tham khảo nhé!
1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/(2n - 2) + 1/(2n - 1) + 1/(2n) > 13/24 (n ∈ N*)
Với n = 1, ta có : 1/2 + 1/3 + ... + 1/2 > 13/24 (đúng)
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k
Nghĩa là : 1/(k + 1) + 1/(k + 2) + ... + 1/(2k - 2) + 1/(2k - 1) + 1/(2k) > 13/24 (1)
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
Nghĩa là : 1/(k + 2) +1/(k + 3) + ... + 1/(2k) + 1/(2k + 1) + 1/(2k + 2) > 13/24 (2)
<=> [1/(k + 1) + 1/(k + 2) + 1/(k + 3) + ... + 1/(2k)] + 1/(2k + 1) + 1/(2k + 2) - 1/(k + 1) > 13/24
Ta chứng minh : 1/(2k + 1) + 1/(2k + 2) - 1/(k + 1) > 0 (3)
<=> [2(k + 1) + (2k + 1) - 2(2k + 1)] / [2(2k + 1)(k + 1)] > 0
<=>1 / [2(2k + 1)(k + 1)] > 0 (4)
Vì k ∈ N* => [2(2k + 1)(k + 1)] > 0 => (4) đúng => (3) đúng
Cộng (1) và (3) được :
1/(k + 2) +1/(k + 3) + ... + 1/(2k) + 1/(2k + 1) + 1/(2k + 2) > 13/24
=> (2) đúng
Theo quy nạp => Điều cần chứng minh là đúng => đpcm
Làm cách thông dụng nhất là quy đồng .
Khai triển VT ta có :
\(1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}\)
\(=\dfrac{n^2\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)^2+n^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\)
\(=\dfrac{n^4+2n^3+n^2+n^2+2n+1+n^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\)
\(=\dfrac{n^4+2n^3+3n^2+2n+1}{n^2\left(n+1\right)^2}\)
\(=\dfrac{\left(n^2+n+1\right)^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\)
Vậy đẳng thức đã được chứng minh :3
\(S=\left(1-\dfrac{1}{4}\right)+\left(1-\dfrac{1}{9}\right)+\left(1-\dfrac{1}{16}\right)+...+\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)\\ S=\left(1+1+...+1\right)-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{n^2}\right)\\ S=n-1-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{n^2}\right)< n-1\)
Lại có \(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+..+\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{n^2}< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{n\left(n-1\right)}< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n}< 1\)
\(\Rightarrow S>n-1-1=n-2\\ \Rightarrow n-2< S< n-1\\ \Rightarrow S\notin N\)