Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Trước tiên ta cần chứng minh:
\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\left(\forall x;y\right)\)(1)
Ở BĐT này có nhiều cách giải nhưng em giải cách thông thường thôi
BĐT(1) tương đương \(\left(x^4-x^3y\right)+\left(y^4-xy^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\)\(\ge0\left(\forall x;y\right)\)(tự cm nhé)
\(\dfrac{x^4+y^4}{2}\ge\dfrac{x+y}{2}.\dfrac{x^3+y^3}{2}\Leftrightarrow\dfrac{2\left(x^4+y^4\right)}{4}\ge\dfrac{(x^4+y^4)+(x^3y+xy^3)}{4}\)( luôn đúng như trên)
\(\Rightarrowđpcm\)
Áp dụng BĐT cô si với ba số không âm ta có :
=> (1)
Dấu '' = '' xảy ra khi x = 1
CM tương tự ra có " (2) ; (3)
Dấu ''= '' xảy ra khi y = 1 ; z = 1
Từ (1) (2) và (3) =>
BĐT được chứng minh
Dấu '' = '' của bất đẳng thức xảy ra khi x =y =z = 1
:()
áp dụng bđt dang Engel
P=1/[x(x+y) ]+1/[y(x+y) ]
=1/(x+y). (1/x+1/y)
=1/(x+y). [(x+y) /xy]=1/(xy)
x+y≤1,x, y>0=>x.y≤1/4
p≥1/(1/4)=4
đẳng thức khi x=y=1/2
....
\(\left(3^x;3^y;3^z\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a;b;c>0\\ab+bc+ca=abc\end{matrix}\right.\)
BĐT cần chứng minh trở thành:
\(\dfrac{a^2}{a+bc}+\dfrac{b^2}{b+ca}+\dfrac{c^2}{c+ab}\ge\dfrac{a+b+c}{4}\)
Thật vậy, ta có:
\(VT=\dfrac{a^3}{a^2+abc}+\dfrac{b^3}{b^2+abc}+\dfrac{c^3}{c^2+abc}\)
\(VT=\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
Áp dụng AM-GM:
\(\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge\dfrac{3a}{4}\)
Làm tương tự với 2 số hạng còn lại, cộng vế với vế rồi rút gọn, ta sẽ có đpcm
1) Áp dụng BĐT Bunhiacopski
P = \(6\sqrt{x-1}+8\sqrt{3-x}\le\sqrt{\left(6^2+8^2\right)\left(x-1+3-x\right)}=10\sqrt{2}\)
Vậy Min P = \(10\sqrt{2}\) khi x = 43/25
2) a) \(\Rightarrow A-5=y-2x=4y.\dfrac{1}{4}+\left(-6x\right).\dfrac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT bunhiacopski
\(\Rightarrow\left(A-5\right)^2=\left(4y.\dfrac{1}{4}+\left(-6x\right).\dfrac{1}{3}\right)^2\) \(\le\left(16y^2+36x^2\right)\left(\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{9}\right)=\dfrac{25}{16}\)
\(\Rightarrow-\dfrac{5}{4}\le A-5\le\dfrac{5}{4}\Rightarrow\dfrac{15}{4}\le A\le\dfrac{25}{4}\)
...........
b) tương tự
Qui đồng lên ta có: (cần chứng minh)
\(2\sum\left(x^2+1\right)^2\left(z^2+1\right)\le7\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2\sum\left(x^4z^2+x^4+2x^2z^2+2x^2+z^2+1\right)\le7\left(x^2y^2z^2+\sum x^2+\sum x^2y^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2\sum x^4+2\sum x^4z^2\le7x^2y^2z^2+3\sum x^2z^2+\sum x^2+1\)
Hay \(\left(\sum x^2+x+y+z-2\sum x^4\right)+7x^2y^2z^2+3\sum x^2z^2-2\sum x^4z^2\ge0\)
hay \(\sum x^2\left(1-x^2\right)+\sum x\left(1-x^3\right)+7x^2y^2z^2+\sum x^2z^2+2\sum x^2z^2\left(1-x^2\right)\ge0\)
(luôn đúng do x, y, z\(\in\left[0;1\right]\))
Vậy ta có đpcm. Dấu = xảy ra khi 2 số bằng 0, 1 số bằng 1.
Áp dụng BĐT Cosi:
\(\dfrac{x^2}{1+16x^4}+\dfrac{y^2}{1+16y^4}\le\dfrac{x^2}{8x^2}+\dfrac{y^2}{8y^2}=\dfrac{1}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\pm\dfrac{1}{2}\\y=\pm\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)