LT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AA
6
VK
0
24 tháng 5 2020
a) Ta có: \(A=\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\frac{1}{1+\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{1+2\cdot1\cdot\sqrt{2}+2}-\frac{1}{1+\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}-\frac{1}{1+\sqrt{2}}\)
\(=1+\sqrt{2}-\frac{1}{1+\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}{1+\sqrt{2}}-\frac{1}{1+\sqrt{2}}\)
\(=\frac{1+2\sqrt{2}+2-1}{1+\sqrt{2}}\)
\(=\frac{2\sqrt{2}+2}{1+\sqrt{2}}\)
\(=\frac{2\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}+1}=2\)
b) Ta có: \(\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{3}{\sqrt{x}-3}\right)\cdot\frac{\sqrt{x}+3}{x+9}\)
\(=\left(\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{3\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{x}-3}\)
\(=\frac{x-3\sqrt{x}+3\sqrt{x}+9}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}-3}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}-3}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{x}-3}\)(đpcm)
WR
9 tháng 7 2017
áp dụng bđt cauchy:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}=\frac{2}{\sqrt{xy}}.\)
Tượng tự \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}},\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\ge\frac{2}{\sqrt{xz}}.\)
=>2VT>=2Vp
<=>VT>=VP
dấu = xảy ra khi x=y=z
TN
9 tháng 7 2017
By AM-GM we have:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}};\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}};\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{xz}}\)
Cộng theo vế rồi rút gọn là có ĐPCM
Xảy ra khi x=y=z
KN
16 tháng 4 2020
Ta có bổ đề quen thuộc sau: Với \(x,y\ge1\)thì \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
Áp dụng bổ đề trên, ta có:
Với \(x,y\ge1\)thì \(\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}\ge\frac{2}{1+\sqrt{x^3y^3}}\)
Với \(x,y,z\ge1\)thì \(\frac{1}{1+z^3}+\frac{1}{1+xyz}\ge\frac{2}{1+\sqrt{x^4yz}}\)
và \(2\left(\frac{1}{1+\sqrt{x^3y^3}}+\frac{1}{1+\sqrt{x^4yz}}\right)\ge\frac{4}{1+\sqrt{\sqrt{x^4y^4z^4}}}=\frac{4}{1+xyz}\)
Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên, ta được:
\(\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3}+\frac{1}{1+xyz}\ge\frac{4}{1+xyz}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3}\ge\frac{3}{1+xyz}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
KN
16 tháng 4 2020
Cho sửa dòng 4 và 5)): Già rồi nên lẫn
Với \(x,y,z\ge1\)thì \(\frac{1}{1+z^3}+\frac{1}{1+xyz}\ge\frac{2}{1+\sqrt{z^4xy}}\)
và \(2\left(\frac{1}{1+\sqrt{x^3y^3}}+\frac{1}{1+\sqrt{z^4xy}}\right)\ge\frac{4}{1+\sqrt{\sqrt{x^4y^4z^4}}}=\frac{4}{1+xyz}\)
11 tháng 7 2017
Làm biếng nghĩ quá. Chơi cách này cho mau vậy.
\(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\ge\frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{3\left(1-x\right)\left(1+x\right)}}+\frac{y}{\sqrt{3\left(1-y\right)\left(1+y\right)}}\ge\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{2-x}+\frac{y}{2-y}\ge\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1-y}{1+y}+\frac{y}{2-y}\ge\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow4y^2-4y+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2y-1\right)^2\ge0\left(đung\right)\)
Ta có: \(\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}\)
\(=\frac{x-1-1}{\sqrt{x-1}+1}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x-1}-1\right)\left(\sqrt{x-1}+1\right)}{\sqrt{x-1}+1}\)
\(=\sqrt{x-1}-1\)
Ta có: \(\sqrt{x-1}\ge0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}-1\ge-1\forall x\) thoả mãn ĐKXĐ
\(\Leftrightarrow\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}\ge-1\forall x\ge1\)(đpcm)