Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử G là trọng tâm tam giác ABC, ta sẽ chứng minh G' cũng là trọng tâm tam giác A'B'C'.
G là trọng tâm tam giác ABC nên: \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
Ta cần chứng minh: \(\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}\).
Theo giả thiết:
\(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}+\left(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}-\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}-\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}\)
Vậy G là trọng tâm tam giác A'B'C' hay hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm.
Lời giải:
Ta chứng minh bổ đề sau:
Với tam giác $ABC$ và $G$ là trọng tâm tam giác thì :
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
Thật vậy. Gọi giao điểm \(AG\cap BC=T\Rightarrow T\) là trung điểm của tam giác. \(\Rightarrow \overrightarrow{BT}+\overrightarrow{CT}=0\)
Theo tính chất đường trung tuyến:
\(\overrightarrow{GA}=2\overrightarrow{TG}\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GT}=0\) \((1)\)
Mà \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{GT}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BT}\\ \overrightarrow{GT}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CT}\end{matrix}\right.\Rightarrow 2\overrightarrow{GT}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\) \((2)\)
Từ \((1),(2)\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\)
Áp dụng CT trên vào bài toán thì: \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\\ \overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{G'B'}+\overrightarrow{G'C'}=0\end{matrix}\right.\)
Khi đó, từ \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'G'}\\ \overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{B'G'}\\ \overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{C'G'}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow 3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}\)
Ta có đpcm.
1) đây nha : https://hoc24.vn/hoi-dap/question/637285.html
câu 2 cũng chả khác gì cả
Ta đã biết nếu G' là trọng tâm tam giác ABC thì:
\(\overrightarrow{G'A}+\overrightarrow{G'B}+\overrightarrow{G'C}=\overrightarrow{0}\).
Gỉa sử có điểm G thỏa mãn: \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
Ta sẽ chứng minh \(G\equiv G'\).
Thật vậy:
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'A}+\overrightarrow{G'B}+\overrightarrow{G'C}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\).
Vậy \(G\equiv G'\).
Đề: G trọng tâm tam giác ABC
và G' trọng tâm tam giác A'B'C'
Ta có: \(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'B'}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'C'}\)
\(=3\overrightarrow{GG'}+\left(\overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{G'B'}+\overrightarrow{G'C'}\right)+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\)\(=3\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=3\overrightarrow{GG'}\left(đpcm\right)\)
Hai tam giác có cùng trọng tâm khi và chỉ khi \(G\equiv G'\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=0\)
\(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC'}\\ =\left(\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}\right)+\left(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}\right)\\ =3\overrightarrow{GG'}-\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=3\overrightarrow{GG'}-\overrightarrow{0}=3\overrightarrow{GG'}\)
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} = 3\overrightarrow {MG} \)
\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MG} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG} \)
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MG} = 3\overrightarrow {MG} \) (đpcm) ( Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \))
a) Ta có:
\(\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\)\(=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}\).
Vậy A là trung điểm của B'C'.
b)
Theo câu a ta chứng minh được A là trung điểm của B'C'.
Tương tự ta chứng minh được: B là trung điểm của A'C'; C là trung điểm của A'B'.
Từ đó suy ra ba đường thẳng AB', BB', CC' là ba đường trung tuyến của tam giác A'B'C' nên ba đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy.
