Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{a^3}{b^3}+\dfrac{a^3}{b^3}+1+\dfrac{b^3}{c^3}+\dfrac{b^3}{c^3}+1+\dfrac{c^3}{a^3}+\dfrac{c^3}{a^3}+1\ge3\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(\dfrac{a^3}{b^3}+\dfrac{b^3}{c^3}+\dfrac{c^3}{a^3}\right)\ge3\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)-3\)
\(\ge2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)+3-3=2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b^3}+\dfrac{b^3}{c^3}+\dfrac{c^3}{a^3}\ge\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\)
giả sử \(a>b>c>0\) thì ta có :
\(\dfrac{a^2}{b^2}\left(\dfrac{a}{b}-1\right)+\dfrac{b^2}{c^2}\left(\dfrac{b}{c}-1\right)+\dfrac{c^2}{a^2}\left(\dfrac{c}{a}-1\right)\ge2\dfrac{a}{b}+\dfrac{c^2}{a^2}\left(\dfrac{c}{a}-1\right)\)
\(=\dfrac{2a}{b}+\dfrac{c^3}{a^3}-\dfrac{c^2}{a^2}\ge0\)
làm tương tự cho trường hợp \(c>b>a>0\) ; \(b>a>c\) và \(b>c>a\)
\(\Rightarrow\left(đpcm\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương ta có: \(\dfrac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\dfrac{a^2b}{b}}=2\sqrt{a^2}=2a\)
Tương tự với các vế ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^2}{c}+c\ge2b\\\dfrac{c^2}{a}+a\ge2c\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế: \(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+a+b+c\ge2a+2b+2c\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\)
\(\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{a^5}{b^3}+b^2\ge5\sqrt[5]{\dfrac{a^{20}b^2}{b^{12}}}=5.\dfrac{a^4}{b^2}\)
\(\Rightarrow4.\dfrac{a^5}{b^3}+b^2\ge5.\dfrac{a^4}{b^2}\)
Tương tự: \(4.\dfrac{b^5}{c^3}+c^2\ge5\dfrac{b^4}{c^2};4\dfrac{c^5}{a^3}+a^2\ge5.\dfrac{c^4}{a^2}\)
\(\Rightarrow4\left(\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{b^5}{c^3}+\dfrac{c^5}{a^3}\right)+a^2+b^2+c^2\ge5\left(\dfrac{c^4}{a^2}+\dfrac{a^4}{b^2}+\dfrac{b^4}{c^2}\right)\)
Lại có: \(\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{a^5}{b^3}+b^2+b^2+b^2\ge5a^2\)
\(\Rightarrow2.\dfrac{a^5}{b^3}+3b^2\ge5a^2\), tương tự: \(2.\dfrac{b^5}{c^3}+3c^2\ge5b^2;2\dfrac{c^5}{a^3}+3a^2\ge5c^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{b^5}{c^3}+\dfrac{c^5}{a^3}\ge a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{b^5}{c^3}+\dfrac{c^5}{a^3}+4.\left(\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{b^5}{c^3}+\dfrac{c^5}{a^3}\right)\ge4.\left(\dfrac{a^5}{b^3}+\dfrac{b^5}{c^3}+\dfrac{c^5}{a^3}\right)+a^2+b^2+c^2\ge5.\left(\dfrac{c^4}{a^2}+\dfrac{a^4}{b^2}+\dfrac{b^4}{c^2}\right)\)
\(\Rightarrow dpcm\)
giả sử \(a>b>c>0\) thì ta có :
\(\dfrac{a^4}{b^2}\left(\dfrac{a}{b}-1\right)+\dfrac{b^4}{c^2}\left(\dfrac{b}{c}-1\right)+\dfrac{c^4}{a^2}\left(\dfrac{c}{a}-1\right)\ge\dfrac{2a^2b}{c}+\dfrac{c^5}{a^3}-\dfrac{c^4}{a^2}\)
\(\ge\dfrac{2c^4b}{a}-\dfrac{c^4}{a^2}=\dfrac{c^4}{a}\left(2b-\dfrac{1}{a}\right)>0\)
làm tương tự cho trường hợp \(c>b>a>0\) ; \(b>a>c\) và \(b>c>a\)
\(\Rightarrow\left(đpcm\right)\)
mấy câu cậu câu đăng khác bn làm tương tự nha . nếu bn lm không được thì có j mk lm luôn cho còn h mk bạn rồi :(
Trước hết ta chứng minh BĐT sau: \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\) (*) với \(a,b,x,y>0\). Thật vậy, (*) tương đương \(\dfrac{a^2y+b^2x}{xy}\ge\dfrac{a^2+2ab+b^2}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow a^2xy+a^2y^2+b^2x^2+b^2xy\ge2abxy+a^2xy+b^2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh. ĐTXR \(\Leftrightarrow ay=bx\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)
Áp dụng BĐT (*) liên tiếp, ta được:
\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
ĐTXR \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)
Ta có đpcm.
\(A=\dfrac{a^4}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{b^4}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{c^4}{c\left(a+b\right)}\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2ab+2ac+2bc}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+a^2+c^2+b^2+c^2}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}=1\)
\(\Rightarrow A_{min}=1\) khi \(\left[{}\begin{matrix}a=b=c=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\\a=b=c=\dfrac{-\sqrt{6}}{3}\end{matrix}\right.\)
Bạn chép đề sai?
Lời giải:
Phải thêm điều kiện $a,b,c>0$ nữa bạn nhé
Ta có:
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-a-b-c\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2}{b}-(2a-b)+\frac{b^2}{c}-(2b-c)+\frac{c^2}{a}-(2c-a)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2-2ab+b^2}{b}+\frac{b^2-2bc+c^2}{c}+\frac{c^2-2ac+a^2}{a}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{b}+\frac{(b-c)^2}{c}+\frac{(c-a)^2}{a}\geq 0\)
(luôn đúng với mọi $a,b,c>0$)
Do đó ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Hoặc có thể sử dụng BĐT Cauchy như sau:
\(\frac{a^2}{b}+b\geq 2\sqrt{\frac{a^2}{b}.b}=2a\)
\(\frac{b^2}{c}+c\ge 2\sqrt{\frac{b^2}{c}.c}=2b\)
\(\frac{c^2}{a}+a\geq 2\sqrt{\frac{c^2}{a}.a}=2c\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+(a+b+c)\geq 2(a+b+c)\)
\(\Rightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$