N
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
TN
30 tháng 3 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+a+b+c+}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
21 tháng 11 2017
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0,\forall ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\left(1\right)\)
Lại có: \(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM
N
4
17 tháng 5 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dưới dạng Engel ta có :
\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\frac{1}{3}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
DL
18 tháng 5 2017
c)\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4\ge3\cdot\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
Thế : \(\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(b-a\right)^2\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^4+4a^2b^2+b^4}{a^2b^2}\ge\frac{3\left(a^2+b^2\right)}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4\ge\frac{3a}{b}+\frac{3b}{a}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4>=3\cdot\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
N
1
17 tháng 5 2017
\(a\left(a-b\right)+b\left(b-c\right)+c\left(c-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2-bc+c^2-ac\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2-2ab+2b^2-2bc+2c^2-2ac\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(a\left(a-b\right)+b\left(b-c\right)+c\left(c-a\right)\ge0\)
27 tháng 3 2016
ta có ( a+b)2 =1 hay a2 +2ab + b2 =1
laị có ( a-b)2 \(\ge\) 0 hay a2 - 2ab + b2 \(\ge\) 0
Cộng vế vs vế của các BDT trên ta đc: 2 ( a2 + b2 ) \(\ge\) 1
\(\Rightarrow\) a2 + b2 \(\ge\) 0,5
MN
1
LK
6 tháng 2 2019
Với a,b,c > 0 áp dụng BĐT Cauchy, ta có
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)
Cmtt: \(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\ge2\) và \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\ge2\)
Theo đề bài, ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)(do a + b + c = 1)
\(=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+1+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}\)
\(=3+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\)\(\ge3+2+2+2=9\)
T
2
G
5 tháng 3 2019
Ta có: \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4+y^4}{x^2y^2}\ge\frac{x^2+y^2}{xy}\Leftrightarrow\frac{x^4+y^4}{x^2y^2}\ge\frac{x^3y+xy^3}{x^2y^2}\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\Leftrightarrow x^4+y^4-x^3y-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)(đúng)
Các phép biến đổi là tương đương suy ra đpcm
Dấu "=" xảy ra khi x=y
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)