Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1)
Đưa về đồng bậc:
\(\left\{{}\begin{matrix}4x^3-y^3=x+2y\\52x^2-82xy+21y^2=-9\end{matrix}\right.\Rightarrow-9\left(4x^3-y^3\right)=\left(x+2y\right)\left(52x^2-82xy+21y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow 8x^3+2x^2y-13xy^2+3y^3=0\)
\(\Leftrightarrow (4x-y)(x-y)(2x+3y)\Rightarrow \) \(\left[{}\begin{matrix}x=y\\4x=y\\2x=-3y\end{matrix}\right.\)
Thay từng TH vào hệ phương trình ban đầu ta thấy chỉ TH \(x=y\) thỏa mãn.
\(\Leftrightarrow (x,y)=(1,1),(-1,-1)\)là nghiệm của HPT
Bài 2)
Đặt \(P=a+b+c+\frac{3}{4a}+\frac{9}{8b}+\frac{1}{c}\Rightarrow 4P=4a+4b+4c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}\)
\(\Leftrightarrow 4P=(a+2b+3c)+\left(3a+\frac{3}{a}\right)+\left(2b+\frac{9}{2b}\right)+\left(c+\frac{4}{c}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\(\left\{{}\begin{matrix}3a+\dfrac{3}{a}\ge6\\2b+\dfrac{9}{2b}\ge6\\c+\dfrac{4}{c}\ge4\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow 4P\geq (a+2b+3c)+6+6+4\geq 10+6+6+4=26\)
\(\Leftrightarrow P\geq \frac{13}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(1,\frac{3}{2},2)\)
Xí câu BĐT:
ta cần chứng minh \(\dfrac{a^2}{b^2c}+\dfrac{b^2}{c^2a}+\dfrac{c^2}{a^2b}\ge\dfrac{ab+bc+ca}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
Áp dụng BĐT cauchy:
\(\dfrac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\dfrac{a^3}{b}.ab}=2a^2\)
tương tự ta có:\(\dfrac{b^3}{c}+bc\ge2b^2;\dfrac{c^3}{a}+ac\ge2c^2\)
cả 2 vế các BĐT đều dương,cộng vế với vế ta có:
\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2a^2+2b^2+2c^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)
mà a2+b2+c2\(\ge ab+bc+ca\) ( chứng minh đầy đủ nhá)
do đó \(S=\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge2\left(ab+bc+ca\right)-ab+bc+ca=ab+bc+ca\)
suy ra BĐT ban đầu đúng
dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
P/s: cách khác :Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:
\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ca}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\)
\(S\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)
Câu hệ này =))
b, Từ hệ đã cho ta thấy x,y > 0
Trừ vế cho vế pt (1) và (2) của hệ ta được:
\(x^4-y^4=4y-4x\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)=4\left(y-x\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+4\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+4\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x-y=0\) ( Vì \(\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+4>0\) với x,y > 0)
\(\Leftrightarrow x=y\)
Với x = y thay vào pt đầu của hệ ta được:
\(x^4-4x+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^2+2x+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-1=0\) ( Vì \(x^2+2x+3>0\) )
\(\Leftrightarrow x=1\)
Với x=1 suy ra y=1
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (1;1)
Đề đầy Đủ phải thêm cái \(a^2+b^2+c^2=1\) nữa
Lười Ghi đề giải típ luôn nha Đặt Biểu Thức đã cho là A
\(=\frac{a^2}{a\left(1-a^2\right)}+\frac{b^2}{b\left(1-b^2\right)}+\frac{c^2}{c\left(1-c^2\right)}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số dương ta có
\(a^2\left(1-a^2\right)^2=\frac{1}{2}.a^2\left(1-a^2\right)\left(1-a^2\right)\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{2a^2+1-a^2+1-a^2}{3}\right)^3=\frac{4}{27}\)
\(\Rightarrow a\left(1-a^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\Rightarrow\frac{a^2}{a\left(1-a^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\)(1)
Tương tự ta có \(\frac{b^2}{b\left(1-b^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}b^2\)(2)
\(\frac{c^2}{c\left(1-c^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}c^2\)(3)
Từ (1),(2) và (3) ta có
\(A\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Vậy ta có \(đpcm\)
Áp dụng BĐT B.C.S ta có
\(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{ab+bc+ac}\ge\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\)
mặt khác do \(a+b+c\le3\Rightarrow\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge1\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{ab+bc+ac}\ge1\)(*)
ta lại có \(ab+bc+ac\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\le3\)
\(\Rightarrow\dfrac{2007}{ab+bc+ac}\ge\dfrac{2007}{3}=669\)(**)
lấy (*)+(**) vế theo vế ta được
\(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2009}{ab+bc+ac}\ge669+1=670\left(dpcm\right)\)
a) Câu này biến đổi tương đương
b)
Ta có : \(a^2\left(a-1\right)^2\left(2+a\right)\ge0\Leftrightarrow a^2\left(3a-a^3-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow3a^3+6-a^5-2a^2\le6\Leftrightarrow\left(3-a^2\right)\left(a^3+2\right)\le6\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^3+2}\ge\dfrac{3-a^2}{6}\)
Tương tự với b , c ta có :
\(\sum\left(\dfrac{1}{a^3+2}\right)\ge\sum\left(\dfrac{3-a^2}{6}\right)=\dfrac{9-\sum a^2}{6}=1\)
3a)\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{2y-1}=2\\\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{2y-1}=1\end{matrix}\right.\) (ĐK: x≠2;y≠\(\dfrac{1}{2}\))
Đặt \(\dfrac{1}{x-2}=a;\dfrac{1}{2y-1}=b\) (ĐK: a>0; b>0)
Hệ phương trình đã cho trở thành
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\2a-3b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2-b\\2\left(2-b\right)-3b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2-b\\4-2b-3b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2-b\\b=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{7}{5}\left(TM\text{Đ}K\right)\\b=\dfrac{3}{5}\left(TM\text{Đ}K\right)\end{matrix}\right.\) Khi đó \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{7}{5}\\\dfrac{1}{2y-1}=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7\left(x-2\right)=5\\3\left(2y-1\right)=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x-14=5\\6y-3=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{19}{7}\left(TM\text{Đ}K\right)\\y=\dfrac{4}{3}\left(TM\text{Đ}K\right)\end{matrix}\right.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y)=\(\left(\dfrac{19}{7};\dfrac{4}{3}\right)\)
b) Bạn làm tương tự như câu a kết quả là (x;y)=\(\left(\dfrac{12}{5};\dfrac{-14}{5}\right)\)
c)\(\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x-1}+2\sqrt{y}=13\\2\sqrt{x-1}-\sqrt{y}=4\end{matrix}\right.\)(ĐK: x≥1;y≥0)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x-1}+2\sqrt{y}=13\\\sqrt{y}=2\sqrt{x-1}-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x-1}+4\sqrt{x-1}=13\\\sqrt{y}=2\sqrt{x-1}-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7\sqrt{x-1}=13\\\sqrt{y}=2\sqrt{x-1}-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}49\left(x-1\right)=169\\\sqrt{y}=2\sqrt{x-1}-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}49x-49=169\\\sqrt{y}=2\sqrt{x-1}-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{218}{49}\\y=\dfrac{4}{49}\end{matrix}\right.\left(TM\text{Đ}K\right)\)
Bài 4:
Theo đề, ta có hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}3\left(3a-2\right)-2\left(2b+1\right)=30\\3\left(a+2\right)+2\left(3b-1\right)=-20\end{matrix}\right.\)
=>9a-6-4b-2=30 và 3a+6+6b-2=-20
=>9a-4b=38 và 3a+6b=-20+2-6=-24
=>a=2; b=-5
Ta có :
\(VT=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ca}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{4}{2ab}+\dfrac{4}{2bc}+\dfrac{4}{2ca}\)
Theo BĐT Cauchy schwarz dưới dạng engel ta có :
\(VT\ge\dfrac{\left(1+1+1+2+2+2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{81}{1}=81\)
Vậy BĐT đã được chứng minh . Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
nếu dùng kỹ thuật chọn điểm rơi và đánh giá từ TBC sang TBN thì làm kiểu j v bn