Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 2015 số , ta có
\(2x^{2015}+2013=x^{2015}+x^{2015}+1+1+..+1\ge2015\sqrt[2015]{x^{2015}.x^{2015}}=2015x^2\)
tương tự ta có
\(\hept{\begin{cases}2.y^{2015}+2013\ge2015y^2\\2.z^{2015}+2013\ge2015z^2\end{cases}}\)
cộng ba bất đẳng thức lại ta có \(2\left(x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}\right)+2013.3\ge2015\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
hay \(2015\left(x^2+y^2+z^2\right)\le2.3+2013.3=2015.3\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\le3\)
dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Ta có :
\(\left(x+y+z\right)^3=1^3=1\)
Có : \(\left(x+y+z\right)^3-x^3-y^3-z^3=1-1\)
\(\Rightarrow\left[\left(x+y+z\right)-x\right]\left[\left(x+y+z\right)^2+x^2+x\left(x+y+z\right)\right]-\left(y+z\right)\left(y^2+z^2-yz\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+x^2+xy+yz+xz\right]-\left(y+z\right)\left(y^2+z^2-yz\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+x^2+xy+yz+xz-y^2-z^2+yz\right]=0\)
\(\Rightarrow\left(y+z\right)\left[3x^2+3xy+3yz+3xz\right]=0\)
\(\Rightarrow3\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)=0\)
\(\Rightarrow\)y+z=0 hoặc x+z=0 hoặc x+y=0
Có : \(A=x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}\)
\(=x^{2015}+\left(y+z\right)\left(y^{2014}-y^{2013}z+...+z^{2014}\right)\)
\(=y^{2015}+\left(x+z\right)\left(x^{2014}-x^{2013}z+...+z^{2014}\right)\)
\(=z^{2015}+\left(x+y\right)\left(x^{2014}-x^{2013}y+...+y^{2014}\right)\)
Với \(x+y=0\Rightarrow z=1\Rightarrow A=1+0=1\)
Tương tự với \(y+z=0;z+x=0\)đều có A=1
Vậy ...
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x+y+z}-\frac{1}{z}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}=\frac{z-\left(x+y+z\right)}{z\left(x+y+z\right)}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}=\frac{-\left(x+y\right)}{z\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\)(x + y)z(x + y + z) + (x + y)xy = 0
\(\Leftrightarrow\)(x + y) [z(x + y + z) + xy] = 0
\(\Leftrightarrow\)(x + y)[z(x + z) + y(x + z)] = 0
\(\Leftrightarrow\) (x + y)(y + z)(z + x) = 0
Trường hợp 1: x + y = 0\(\Leftrightarrow\)x = -y\(\Leftrightarrow\)x2015 = -y2015\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x^{2015}}=-\frac{1}{y^{2015}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}=0\)
và x2015 + y2015 = 0. Do đó \(\frac{1}{x^{2015}}+\frac{1}{y^{2015}}+\frac{1}{z^{2015}}=\frac{1}{x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}}\)
Trường hợp 2: y + z = 0 làm tương tự
Trường hợp 3: x + z = 0 làm tương tự
Vậy bài toán được chứng minh.
Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"
1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;
2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.
3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.
Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.
tôi mong các bn đừng làm như vậy nha
x + y + z = 1
=> x + y + (z - 1) = 0
=> (x + y) = 1 - z
=> (x + y)3 = (1 - z)3
=> x3 + y3 + 3xy(x + y) = 1 - 3z + 3z2 - z3
=> x3 + y3 + z3 = 3z2 - 3z + 1 - 3xy(1 - z)
=> 1 = 3z(z - 1) - 3xy(1 - z) + 1
=> 3z(z - 1) + 3xy(z - 1) = 0
=> (3z + 3xy)(z - 1) = 0
=> 3(z + xy)(z - 1) = 0
=> (z + xy)(z - 1) = 0
=> \(\orbr{\begin{cases}z=-xy\\z=1\end{cases}}\)
Khi z = 1 => x + y = 0 => x = -y
Khi đó P = x2015 + y2015 + z2015 = x2015 - x2015 + 12015 = 1
Khi z = -xy => x + y - xy = 1 => x + y - xy - 1 = 0 => (x - 1)(y - 1) = 0 => \(\orbr{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)
Khi x = 1 => y + z = 0 => y = -z
Khi đó P = 12015 + y2015 - y2015 = 1 (vì x = -z)
Khi y = 1 => x + z = 0 => x = -z
Khi đó P = x2015 + 12015 - x2015 = 1 (Vì x = -z)
Vậy P = 1
Ta có: \(x+y+z=1\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+3\left(x+y\right)^2z+3\left(x+y\right)z^2+z^3=1\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+3\left(x+y\right)z\left(x+y+z\right)+z^3=1\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(zx+yz+z^2+xy\right)=1\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=1\)
\(\Leftrightarrow1+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=1\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
=> Hoặc x+y=0 hoặc y+z=0 hoặc z+x=0
=> Hoặc x=-y hoặc y=-z hoặc z=-x
Vì vai trò x,y,z như nhau nên giả sử x=-y khi đó thay vào:
\(x+y+z=1\Rightarrow z=1\)
Khi đó \(P=x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}=-y^{2015}+y^{2015}+1=1\)