K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
27 tháng 6 2020

\(VT=\frac{\left(yz\right)^2}{x^2yz\left(y+z\right)}+\frac{\left(zx\right)^2}{xy^2z\left(z+x\right)}+\frac{\left(xy\right)^2}{xyz^2\left(x+y\right)}\)

\(VT=\frac{2\left(yz\right)^2}{xy+xz}+\frac{2\left(zx\right)^2}{xy+yz}+\frac{2\left(xy\right)^2}{xz+yz}\)

\(VT\ge\frac{2\left(xy+yz+zx\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=xy+yz+zx\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)

2 tháng 6 2018

min hay max bạn

6 tháng 10 2019

Mk nghĩ là x3,y3,z3.

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\Sigma_{cyc}\left(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}\right)=\Sigma_{cyc}\left(\frac{x^2}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}}\right)\)\(\ge2\Sigma_{cyc}\left(\frac{x^2}{x^2-x+6}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwart:

\(2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)-\left(x+y+z\right)+18}\)\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)-\left(x+y+z\right)+18}\)

gt\(\Leftrightarrow3\left(x+y+z\right)\le3\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y+z\le0\\x+y+z\ge3\end{matrix}\right.\)

Đặt t=x+y+z\(\left(t\ge3\right)\)

Cần c/m:\(\frac{2t^2}{t^2-3t+18}\ge1\)

Có :\(t^2-3t+18>0\)

\(\Rightarrow2t^2\ge t^2-3t+18\)

\(\Leftrightarrow t^2+3t-18\ge3^2+3.3-18=0\)(Đúng)

Vậy min =1

Dấu = xra khi x=y=z=1.

#Walker

Kiểm tra giùm em đúng ko ạ Akai Haruma

NV
26 tháng 2 2020

\(\sqrt{\frac{xy}{xy+z}}=\sqrt{\frac{xy}{xy+z\left(x+y+z\right)}}=\sqrt{\frac{xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}\right)\)

Tương tự: \(\sqrt{\frac{yz}{yz+x}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z}\right)\) ; \(\sqrt{\frac{zx}{zx+y}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}\right)\)

Cộng vế với vế ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

19 tháng 8 2020

Đặt \(P=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)

Do x,y,z là các số thực dương nên ta biến đổi \(P=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{y^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)

Đặt \(a=\frac{1}{x^2};b=\frac{1}{y^2};c=\frac{1}{z^2}\left(a,b,c>0\right)\)thì \(xy+yz+zx=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}=1\)và \(P=\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+b}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}+a+b+c\)

Biến đổi biểu thức P=\(\left(\frac{1}{2\sqrt{a+1}}+\frac{1}{2\sqrt{a+1}}+\frac{a+1}{16}\right)+\left(\frac{1}{2\sqrt{b+1}}+\frac{1}{2\sqrt{b+1}}+\frac{b+1}{16}\right)\)\(+\left(\frac{1}{2\sqrt{c+1}}+\frac{1}{2\sqrt{c+1}}+\frac{c+1}{16}\right)+\frac{15a}{16}+\frac{15b}{16}+\frac{15c}{b}-\frac{3}{16}\)

Áp dụng Bất Đẳng Thức Cauchy ta có

\(P\ge3\sqrt[3]{\frac{a+1}{64\left(a+1\right)}}+3\sqrt[3]{\frac{b+1}{64\left(b+1\right)}}+3\sqrt[3]{\frac{c+1}{64\left(c+1\right)}}+\frac{15a}{16}+\frac{15b}{16}+\frac{15c}{16}-\frac{3}{16}\)

\(=\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\left(a+b+c\right)\ge\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot3\sqrt[3]{abc}\)

Mặt khác ta có \(1=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\Leftrightarrow abc\ge27\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot3\sqrt[3]{27}=\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot9=\frac{21}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c hay \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

1 tháng 10 2021

Gọi \(A=\sum\dfrac{x^3}{\sqrt{y^2+3}}\)

Theo Holder: \(A.A.\left(\left(y^2+3\right)+\left(z^2+3\right)+\left(x^2+3\right)\right)\ge\left(x^3+y^3+z^3\right)^3\)

\(\Rightarrow A^2\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^3}{x^2+y^2+z^2+9}\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^3}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}=\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^3}{\left(x+y+z\right)^2+xy+yz+zx}\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^3}{\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)

Ta có đánh giá sau: \(x^3+y^3+z^3\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x+y+z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\)

\(\Rightarrow A^2\ge\dfrac{\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{9}}{\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\dfrac{x+y+z}{12}\ge\dfrac{\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}}{12}\ge\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{2}\)

9 tháng 1 2018

Bài này cũng dễ mà:

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:

\(y+z+1\ge3\sqrt[3]{yz}\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{y+z+1}{3}\ge\sqrt[3]{yz}\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\dfrac{3x}{y+z+1}\)

\(\Rightarrow\)\(\sum\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\sum\dfrac{3x}{y+z+1}\)

\(\sum\dfrac{3x}{y+z+1}=\sum\dfrac{3x^2}{xy+xz+x}\)

Áp dụng BĐT Cauchy -Schwaz:

\(\sum\dfrac{3x^2}{xy+xz+x}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\)

Mà:

\(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)(BĐT phụ)

\(\Rightarrow\)\(2\left(xy+yz+xz\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)=6\)

Áp dụng BĐT Bunhicopski:

\(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)=9\)

\(\Rightarrow x+y+z\le3\)

\(\Rightarrow2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z\le6+3=9\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{9}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\ge xy+yz+xz\left(ĐPCM\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)x=y=z=1

9 tháng 1 2018

@Lightning Farron vào thể hiện đẳng cấp đi anh zai :))

5 tháng 1 2021
Bạn tham khảo lời giải của tớ nha!

Bài tập Tất cả