Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+x\right)^2}{y+z+z+x+x+y}=\frac{x+y+x}{2}=1\)
Dấu ' =' xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
TK: Câu hỏi của pham trung thanh - Toán lớp 9 - Học trực tuyến OLM
Áp dụng tính chất :
Nếu a+b+c = 0 hoặc a =b=c thì a^3 + b^3 + c^3 = 3abc
Sử dụng tính chất trên ta được :
( x - y )^3 + ( y -z )^3 + ( z - x )^3 = 3( x -y )(y -z )( z -x )
♥,Nếu x ,y, z có cùng số dư khi chia cho 3 =>
x-y , y- z , z - x :/ 3 ( :/ là kí hiệu chia hết )
=> ( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 27 => 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 81
♥,G/S trong ba số x,y,z ko có số nào có cùng số dư khi chia hết cho 3
=> ( x -y )(y -z )( z -x ) ko chia hết cho 3
Từ G/S => x,y,z chia 3 sẽ có 3 số dư là 0,1,2
=> x+y +z :/3 => ( x -y )(y -z )( z -x ) :/3 ( Vô lý )
♥,Vậy trong ba số x,y,z có hai số có cùng số dư khi chia cho 3 . G/S đó là x,y
=> ( x -y )(y -z )( z -x ) :/3 => x +y +z :/3
1,Nếu x,y :/ 3 => z :/3 => ( x -y )(y -z )( z -x ) :/27 => 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 81
2,Nếu x,y chia 3 dư 1 , x+y+z :/3 => z chia 3 dư 1 => 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 81
3,Nếu x,y chia 3 dư 2 , x+y + z :/3 => z chia 3 dư 2 => 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 81
Tóm lại 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 81 hay M=(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3 :/ 81
Dễ thấy vai trò của x, y, z là như nhau.
Nếu x, y, z có số dư khi chia cho 3 lần lược là: 0, 1, 2 thì ta có \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮̸3\\x+y+z⋮3\end{cases}}\)(loại)
Nếu x, y, z có 2 số có cùng số dư và 1 số còn lại có số dư khác 2 số đó khi chia cho 3 thì:
\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮3\\x+y+z⋮̸3\end{cases}}\)(loại)
Nếu x, y, z khi chi cho 3 có cùng số dư thì:
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮27\)
\(\Rightarrow x+y+z⋮27\)
- Nếu \(x,y,z\)đôi một không cùng số dư khi chia hết cho \(3\), khi đó giả sử \(x\equiv0\left(mod3\right),y\equiv1\left(mod3\right),z\equiv2\left(mod3\right)\).
Ta có: \(VP\equiv0+1+2\equiv0\left(mod3\right)\)
\(VT\)không có thừa số nào chia hết cho \(3\)nên \(VT⋮̸3\)do đó mâu thuẫn.
- Nếu có hai trong ba số \(x,y,z\)có cùng số dư khi chia cho \(3\).
Khi đó \(VT\)chia hết cho \(3\).
\(VP\)không chia hết cho \(3\)(mâu thuẫn).
Do đó cả \(3\)số \(x,y,z\)có cùng số dư khi chia cho \(3\).
Vậy \(x+y+z=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮\left(3.3.3\right)\)
hay ta có đpcm.
Một số nguyên chia cho 3 có số dư là 0,1 hoặc 2
- Nếu x,y,z chia cho 3 có số dư khác nhau
\(\Rightarrow x-y⋮̸3;y-z⋮̸3;z-x⋮̸3\)còn \(x+y+z⋮3\)
Do đó \(\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=x+y+z\)không xảy ra
- Nếu x,y,z chỉ có hai số chia cho 3 có cùng số dư
Không mất tính tổng quát,giả sử là x và y ta có :
\(x-y⋮3,x+y+z⋮̸3\)
Do đó \(\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=x+y+z\)cũng không xảy ra
Do đó x,y,z chia cho 3 có cùng số dư
\(\Rightarrow x-y⋮3;y-z⋮3;z-x⋮3\)
\(\Rightarrowđpcm\)
