Question

[Trịnh Như Ngọc]

Cho x+y=1.. Tìm GTNN của x^3+y^3+x^2+y^2

Answer 1

[Phan Nghĩa]

bạn nhớ thêm đk là thực dương !

Sử dụng BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức ta có : \(x^3+y^3=\frac{x^4}{x}+\frac{y^4}{y}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{x+y}\ge\frac{\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\right]^2}{1}=\frac{\frac{1}{2^2}}{1}=\frac{\frac{1}{4}}{1}=\frac{1}{4}\)

\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :

\(x^3+y^3+x^2+y^2\ge\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Answer 2

[Nobi Nobita]

Đặt \(A=x^3+y^3+x^2+y^2\)

\(\Rightarrow A=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+x^2+y^2\)

Thay \(x+y=1\)vào biểu thức ta được: 

\(A=1-3xy+x^2+y^2=\left(x^2+2xy+y^2\right)-5xy+1\)

\(=\left(x+y\right)^2-5xy+1=-5xy+2\)

Áp dụng bđt \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)ta có: \(1^2\ge4xy\)\(\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow-5xy\ge\frac{-5}{4}\)\(\Rightarrow-5xy+2\ge\frac{-5}{4}+2=\frac{3}{4}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(minA=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)