Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét \(\frac{x}{y^3-1}+\frac{y}{x^3-1}=\frac{1-y}{y^3-1}+\frac{1-x}{x^3-1}=-\frac{1}{x^2+x+1}-\frac{1}{y^2+y+1}\)
\(=-\frac{x^2+y^2+x+y+2}{\left(x^2+x+1\right)\left(y^2+y+1\right)}=-\frac{x^2+y^2+3}{x^2y^2+xy\left(x+y\right)+x^2+y^2+xy+x+y+1}\)
\(=-\frac{\left(x+y\right)^2-2xy+3}{x^2y^2+x^2+y^2+2xy+2}=-\frac{4-2xy}{x^2y^2+3}=\frac{2\left(xy-2\right)}{x^2y^2+3}\)
từ đó ta có đpcm
\(BĐT\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2\right)-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)\ge0\) (Luôn đúng vì \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\forall x;y>0\))
theo bài ra ta có : \(\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}\right)^2=1^2=1\)
Ta thấy
\(\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-2.\frac{1}{xy}-2.\frac{1}{xz}+2.\frac{1}{yz}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}-\frac{1}{yz}\right)\)
\(=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-2\left(\frac{z+y-x}{xyz}\right)\)
\(=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-2\left(\frac{0}{xyz}\right)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\) vì x = y+z nê y+z-x = 0
Vậy \(\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1ĐPCM\)
Xét hiệu : \(\frac{x^4+y^4}{\left(xy\right)^2}-\frac{x^2+y^2}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x^4+y^4\right)-\left(x^3y+yx^3\right)}{\left(xy\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3\left(x-y\right)+y^3\left(y-x\right)}{\left(xy\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)}{\left(xy\right)^2}\ge0\forall x,y\)
=> đpcm
Đề có sai hay thiếu gì k bạn, có đk x,y >0 hay k ?