Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\frac{1}{5xy}+\frac{5}{x+2y+5}=\frac{1}{5xy}+\frac{5}{\left(x+y\right)+y+5}\ge\frac{1}{5xy}+\)\(\frac{5}{y+8}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{1}{5xy}+\frac{xy}{20}+\frac{5}{y+8}+\frac{y+8}{20}-\frac{xy+y+8}{20}\)
Lại có \(\frac{xy+y+8}{20}=\frac{y\left(x+1\right)+8}{20}\le\frac{\frac{\left(x+y+1\right)^2}{4}}{20}\le\frac{3}{5}\)
khi đó \(p\ge\left(\frac{1}{5xy}+\frac{xy}{20}\right)+\left(\frac{5}{y+8}+\frac{y+8}{20}\right)-\frac{xy+y+8}{20}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{1}{5}+1-\frac{3}{5}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{3}{5}\)
vậy \(P_{min}=\frac{3}{5}\Rightarrow x=1,y=2\)
áp dụng BĐT Cauchy ta có
\(\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y+2z}{9}+\frac{1}{3}>=3\sqrt[3]{\frac{x^3}{y+2z}.\frac{\left(y+2z\right)}{9}.\frac{1}{3}}=x\)
\(=>\frac{x^3}{y+2z}>=x-\frac{y+2z}{9}-\frac{1}{3}\)
Tương tự \(\frac{y^3}{z+2x}>=y-\frac{z+2x}{9}-\frac{1}{3}\),\(\frac{z^3}{x+2y}>=z-\frac{x+2y}{9}-\frac{1}{3}\)
\(=>P>=\left(x+y+z\right)-\frac{3\left(x+y+z\right)}{9}-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)\)
Mà x+y+z=3
\(=>P>=3-1-1=1\)
=>Min P=1
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
\(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}=\frac{2a}{2}=a\Rightarrow xy\le a^2\)
Ta có : \(A=\frac{x+y}{xy}\ge\frac{2a}{a^2}=\frac{a}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = a
vậy ....
Bài: Cho x,y >0, x+y>=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= 3x + 4y +\(\frac{5}{x}+\frac{9}{y}\)
\(A=3x+4y+\frac{5}{x}+\frac{9}{y}=\frac{5}{4}x+\frac{5}{x}+\frac{9}{4}y+\frac{9}{y}+\frac{7}{4}x+\frac{7}{4}y\)
\(\ge2\sqrt{\frac{5}{4}x.\frac{5}{x}}+2\sqrt{\frac{9}{4}y.\frac{9}{y}}+\frac{7}{4}.4\)
\(=5+9+7=21\)
Dấu \(=\)khi \(x=y=2\).
\(S=x+y+\frac{3}{4x}+\frac{3}{4y}\)
\(=x+y+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
\(\ge x+y+\frac{3}{x+y}\)
\(=\left(x+y+\frac{16}{9\left(x+y\right)}\right)+\frac{11}{9\left(x+y\right)}\)
\(\ge\frac{4}{3}+\frac{11}{9\cdot\frac{4}{3}}=\frac{43}{12}\)
Tại \(x=y=\frac{2}{3}\)
AP DUNG BDT CAUCHY-SCHWAR : \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)(DAU "=" XAY RA KHI \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\))
...Cauchy-Schwarz:
\(Q\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z}=\frac{36}{1}=36\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\\frac{1}{x}=\frac{2}{y}=\frac{3}{z}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=y\\3y=2z\\z=3x\end{cases}}\)
Giải tiếp t cái dấu = :v
Tham khảo bài 8 trong link: Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath
Tham khảo link này : https://olm.vn/hoi-dap/detail/223163065606.html