Question

[haru]

Cho tam giác nhọn ABC có \(\widehat{A}=60^0\). Có trực tâm là H qua B kẻ d1 \(\perp\)AB. Qua C kẻ \(d2\perp AC\). Gọi giao của d1 và d2 là K.

a) Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành.

b) O là giao điểm của BC và HK, N là trung điểm của AK. Chứng minh AH = 2ON

c) Tính các góc của hình bình hành BHCK.

Answer 1

[Pham Van Hung]

a, H là trực tâm của \(\Delta ABC\left(gt\right)\Rightarrow BH\perp AC,CH\perp AB\)

Mà \(CK\perp AC,BK\perp AB\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow BH//CK,CH//BK\)

\(\Rightarrow BHCK\)là hình bình hành.

b, Hình bình hành BHCK có 2 đường chéo BC,HK cắt nhau tại O

\(\Rightarrow O\)là trung điểm của HK.

ON là đường trung bình của \(\Delta AHK\Rightarrow ON=\frac{1}{2}AH\Rightarrow AH=2ON\)

c, Tứ giác ABCK có: \(\widehat{BAC}+\widehat{ABK}+\widehat{ACK}+\widehat{BKC}=360^0\)

                          \(\Rightarrow60^0+90^0+90^0+\widehat{BKC}=360^0\Rightarrow\widehat{BKC}=150^0\)

BH//CK(gt) \(\Rightarrow\widehat{BKC}+\widehat{HCK}=180^0\)

                \(\Rightarrow150^0+\widehat{HCK}=180^0\Rightarrow\widehat{HCK}=30^0\)

BHCK là hình bình hành (cmt) nên \(\hept{\begin{cases}\widehat{BHC}=\widehat{BKC}=150^0\\\widehat{HBK}=\widehat{HCK}=30^0\end{cases}}\) (tính chất hbh)