Question

[Hoàng Ninh]

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. D là điểm trên cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD. Xác định vị trí của điểm D để tổng BE + CF có giá trị lớn nhất.

Answer 1

[tth_new]

Mình nói trước là mình mới học dạng này nên không chắc đâu nhé! Nhất là cái dấu "=" ấy, nó rất khó để giải thích và có thể sai. Nếu bạn dùng geogebra thì sẽ dễ hiểu hơn.

Đặt BC = a = const (hằng số)

Xét trường hợp E và F không trùng D. Khi đó theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên thì:

BE + CF < BD + CD = BC (1)

Nếu E và F trùng D thì BE + CF = BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BE+CF\le BC=const\)

Đẳng thức xảy ra khi E và F trùng D khi đó D là trung điểm BC và tam giác ABC cân tại A.

Answer 2

[Nguyễn Linh Chi]

tth làm không đúng rồi.

Ta có E là hình chiếu của B lên AD 

F là hình chiếu của CAD

=> \(BC=BD+DC\ge BE+CF\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(E\equiv D\equiv F\)

khi đó: \(BD\perp AD;CD\perp AD\)=> D là chân đường cao hạ từ A đến BC 

Vậy D là chân đường cao hạ từ A đến BC thì BE+CF đạt giá trị lớn nhất bằng BC