Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1)Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC ở I. Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O)
~~~~~~~~~ Bài làm ~~~~~~~~~
Ta có: \(\widehat{HBD}=\widehat{DAC}\) (Cùng phụ với \(\widehat{ACB}\))
\(\widehat{KBD}=\widehat{DAC}\)( Góc nối tiếp cùng chắn cung \(KC\))
\(\Rightarrow\widehat{HBD}=\widehat{KBD}\)
Ta lại có: \(BD\perp HK\)
\(\Rightarrow BD\) là đường trung trực của \(HK\)
\(\Rightarrow\Delta IHK\) cân tại \(I\)
\(\Rightarrow\widehat{BKD}=\widehat{BHD}=\widehat{AHQ}\)
Lại có:\(\widehat{DKO}=\widehat{HAO}\)( \(\Delta OKA\) cân tại \(O\))
Vì vậy: \(\widehat{DKO}+\widehat{BKD}=\widehat{HAO}+\widehat{AHQ}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{KIO}=90^0\)
\(\Rightarrow IK\)là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(O\right)\)
(Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa cái hình vẽ gần cả tiếng đồng hồ :)) )
Lấy G là trọng tâm của ΔABC
⇒CG=2/3CD
Vẽ đường cao AH của ΔABC , vì ΔABC cân tại A ⇒AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến
⇒ A,G,H thẳng hàng.(1)
OB=OC=R ⇒ O thuộc đường trung trực của BC
⇒A,O,H thẳng hàng (2)
Từ (1) và(2) ⇒ OG vuông góc với BC
Lấy M là trung điểm của AC. ΔABC có D,M lần lượt là trung điểm của AB,AC
⇒DM//BC
Mà OGvuông góc với BC
⇒OG vuông góc với DM
⇒OG vuông góc với DE (3)
ΔAOB có OA=OB
⇒ΔAOB cân tại O mà D là trung điểm của AB
⇒OD vuông góc với AB
Gọi N là trung điểm của AD. Vì E là trọng tâm của ΔACD
⇒CE=2/3CN
ΔCND có CE=2/3CN,CG=2/3CD
⇒GE//DN ( theo định lý Ta lét)
⇒GE//AB mà OD vuông góc với AB
⇒OD vuông góc với GE (4)
Từ (3),(4) ⇒ΔDGE có OD vuông góc với GE, OG vuông góc DE
⇒O là trực tâm của ΔDGE
⇒OE vuông góc với DG hay OE vuông góc với CD
Lấy G là trọng tâm của ΔABC
⇒CG=23CD
Vẽ đường cao AH của ΔABC , vì ΔABC cân tại A ⇒AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến
⇒ A,G,H thẳng hàng.(1)
OB=OC=R ⇒ O thuộc đường trung trực của BC
⇒A,O,H thẳng hàng (2)
Từ (1) và(2) ⇒ OG vuông góc với BC
Lấy M là trung điểm của AC. ΔABC có D,M lần lượt là trung điểm của AB,AC
⇒DM//BC
Mà OGvuông góc với BC
⇒OG vuông góc với DM
⇒OG vuông góc với DE (3)
ΔAOB có OA=OB
⇒ΔAOB cân tại O mà D là trung điểm của AB
⇒OD vuông góc với AB
Gọi N là trung điểm của AD. Vì E là trọng tâm của ΔACD
⇒CE=23CN
ΔCND có CE=23CN,CG=23CD
⇒GE//DN ( theo định lý Ta lét)
⇒GE//AB mà OD vuông góc với AB
⇒OD vuông góc với GE (4)
Từ (3),(4) ⇒ΔDGE có OD vuông góc với GE, OG vuông góc DE
⇒O là trực tâm của ΔDGE
⇒OE vuông góc với DG hay OE vuông góc với CD
Gọi; M là trung điểm của AC; G là trọng tâm của tam giác ABC. Nối E với G; O với D
+) Vì G là trong tâm của tam giác ABC => MG = \(\frac{1}{3}\)MB => MG/ MB = \(\frac{1}{3}\)
E là trong tâm của tam giác ACD => ME = \(\frac{1}{3}\) MD => ME/ MD = \(\frac{1}{3}\)
Tam giác DMB có MG/ MB = ME/MD (= \(\frac{1}{3}\)) => EG // AB (Định lí Ta lét)
Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC => O là giao của 3 đường trung trực => OD là đường trung trực của AB => OD vuông góc với AB
=> EG vuông góc với OD (1)
+) Tam giác ABC cân tại A có AO là đường trung trực nên đông thời là đường trung tuyến
Mà AG cũng là đường trung tuyến (Vì G là trọng tâm tam giác) => AO trùng với AG => A; O; G thẳng hàng
Mặt khác AO vuông góc với BC ( vì AO là đường trung trực của đoạn BC)
DM // BC (vì DM là đường trung bình của tam giác ABC)
=> AO vuông góc với BC => OG vuông góc với BC (2)
Từ (1)(2) ta có: OD; OG là hai đường cao của tam giác DEG mà OD cắt OG = O => O là trực tâm của tam giác DEG
=> OE vuông góc với DG
Hay OE vuông góc với DC
