K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

16 tháng 9 2015

(a)  Do P là trung điểm AE, O là trung điểm AB, suy ra PO là đường trung bình tam giác ABE. Do vậy mà OP song song với BE. Vì CD là đường kính nên \(CB\perp BF\to PO\perp BF.\) Vì \(EF\) là tiếp tuyến tại A của đường tròn nên \(BA\perp EF.\) Vậy O là trực tâm của tam giác BPQ. Thành thử OF vuông góc với BP. Do H là trực tâm tam giác BPQ nên QH vuông góc với BP. Do đó OF song song với QH. Mà Q là trung điểm AF, nên QH là đường trung bình tam giác AOF. Vậy H là trung điểm AO. 

(b)  Ta có \(S_{APQ}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot PQ=R\cdot PQ=R\cdot\frac{EF}{2}.\) Vậy diện tích tam giác APQ bé nhất khi và chỉ khi \(EF\) nhỏ nhất. Xét tam giác vuông BEF, theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, suy ra \(AB^2=AE\cdot AF\to AE\cdot AF=4R^2.\) Theo bẩt đẳng thức Cô-Si ta có \(EF=AE+AF\ge2\sqrt{AE\cdot AF}=2\sqrt{4R^2}=4R.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(AE=AF\Leftrightarrow\Delta BEF\) vuông cân \(\Leftrightarrow BA\) là phân giác của góc \(\angle CBD\) \(\Leftrightarrow CD\perp AB.\) 

Vậy diện tích tam giác BPQ bé nhất khi và chỉ khi 2 đường kính AB,CD vuông góc với nhau. Khi đó giá trị bé nhất \(S_{APQ}=\frac{1}{2}AB\cdot EF=\frac{1}{2}\cdot2R\cdot4R=4R^2.\)

(c)  Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu ta có 

\(AE^2=CE\cdot BE,AF^2=BF\cdot DF\to\frac{AE^2}{AF^2}=\frac{CE\cdot BE}{BF\cdot DF}\to\frac{CE}{DF}=\frac{BF}{BE}\cdot\frac{AE^2}{AF^2}\)

Mặt khác, \(BE^2=EF\cdot EA,BF^2=FA\cdot FE\to\frac{BE^2}{BF^2}=\frac{EA}{FA}\to\frac{EA^2}{FA^2}=\frac{BE^4}{BF^4}.\)

Từ hai đẳng thức ta suy ra \(\frac{CE}{DF}=\frac{BF}{BE}\cdot\frac{BE^4}{BF^4}=\frac{BE^3}{BF^3}.\)

20 tháng 7 2017

Hình mình ko tiện vẽ nên có thể hơi khó hiểu
a) xét t/g EAB có : P tđ AE, O tđ AB => OP//EB. mà EP vuông góc FB => PO vuông góc FB

xét t/g PFB có PO là đường cao, BA là đường cao, BA giao PO tại O

 => O là trực tâm t/g => FO vuông góc PB. Mà QH vuông góc PB => QH//OF
xét t/g AFO có Q tđ AF, QH//OF => H tđ OA (đpcm)

b) Xét t/g CBD có : BO= 1/2 CD (=R) , BO là trung tuyến => t/g CBD vuông tại B
Xét t/g EBF có: EBF = 90 độ, BA là đường cao => AB^2 = AE.AF
Ta có: AE.AF ≤ (AE+AF)^2/4
=> AB^2 ≤ EF^2/4
=> AB ≤ EF/2 (do AB, EF >0)

=> EF.AB/2 ≥ AB^2

=> diện tích EBF ≥ AB^2
lại có diện tích BPQ = PQ.AB/2= [(1/2.AE+ 1/2.AF).AB]/2= EF.AB/4= diện tích EBF/2

=> diện tích BPQ ≥ AB^2/2

dấu "=" <=> AE= AF => A tđ EF

           xét t/g EBF có BA là trung tuyến, BA là đường cao => t/d EBF cân tại B => BA là phân giác
xét t/g CBD có: BO là trung tuyến, BO là phân giác => t/g CBD cân tại B => BO là đường cao => AB vuông góc CD

Vậy t.g BPQ có dt nhỏ nhất <=> AB vuông góc CD

Oke, nếu thấy đúng thì cho mik xin 1 k nhé!

5 tháng 6 2016

bạn vẽ hình ra

do ÈF là tiếp tuyến nên EF vuông góc AB nên góc BAD =90 \(\Rightarrow\)góc BAD + góc DAF =90                                                                                                      mà góc DAF + góc F = góc ADF=90( ADF chắn nửa đg tròn)

                                                                 \(\Rightarrow\)góc BAD = góc F 

                                                             lại có góc BAD = góc BCD( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BD)

                                                                góc F = góc BCD

                                                               mặt khác góc BCD + góc DCE =180( 2 góc kề bù)

                                                            \(\Rightarrow\)góc F + góc DCE =180 \(\Rightarrow\)tg CDFE nội tiếp 

b)   Aps dụng hệ thức lượng trong \(\Delta BEF\)có BAvuông góc EF ta có \(AB^2=EA\times AF\Rightarrow AB^4=EA^2\times AF^2vàBE\times BF=AB\times EF\)

Tương tự \(\Delta BAE\)có AC vuông góc BE ta có \(EA^2=CE\times BE\)

                   \(\Delta BAD\)có AD vuông góc BF ta có \(AF^2=DF\times BF\)

TA CÓ   \(AB^4=CE\times BE\times DF\times BF=CE\times DF\times AB\times EF\Rightarrow CE\times DF\times EF=AB^3\)

mình chăc chắn câu (B) là CE.DE.EF=AB^3 chứ ko phải là   CF đâu ( chăc bạn nhìn nhầm rồi) và mk ms chỉ nghĩ đến câu b thui thông cảm

8 tháng 6 2016

bạn kiều oanh giải tiếp câu c đi

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d) và (D) lần lượt có phương trình là y=2x-5 và y= (m-2)x -m-1 (m là tham số).a) Chứng minh rằng đường thẳng (D) luôn luôn đi qua một điểm cố định thuộc đường thẳng (d) với mọi giá trị của m∈R.b) Tìm giá trị của m để gốc tọa độ O cách đường thẳng (D) một khoảng lớn nhất. Câu 4: (4,0 điểm)Cho đường tròn (O; R) và hai...
Đọc tiếp

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d) và (D) lần lượt có phương trình là y=2x-5 và y= (m-2)x -m-1 (m là tham số).
a) Chứng minh rằng đường thẳng (D) luôn luôn đi qua một điểm cố định thuộc đường thẳng (d) với mọi giá trị của m∈R.
b) Tìm giá trị của m để gốc tọa độ O cách đường thẳng (D) một khoảng lớn nhất. 
Câu 4: (4,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính phân biệt AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại hai điểm E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF.
a) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA.
b) Hai đường kính AB và CD có vị trí tương đối như thế nào thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất.
Câu 5: (2,0 điểm) Cho a, b, c là các độ dài ba cạnh của một tam giác và thỏa hệ thức a+b+c=1. Chứng minh rằng a2+b2+c2<12.

0