Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) và b) Chứng minh nhờ tính chất đường trung bình của tam giác
c) Để chứng minh MNQR là ngũ giác đều ta cần chứng minh hai điều : Hình đó có tất cả các cạnh bằng nhau và có tất cả các góc bằng nhau.
Do ABCD là hình vuông có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của BC, CD, DA, AB nên: AQ = QB = BM = MC= CN = ND = DP = PA
Xét Δ APQ và Δ BQM:
AQ = BM (gt)
∠ A = ∠ B = 90 0
AP = BQ (gt)
Do đó: △ APQ = △ BQM (c.g.c) ⇒ PQ = QM (1)
Xét △ BQM và △ CMN:
BM = CN (gt)
∠ B = ∠ C = 90 0
BQ = CM (gt)
Do đó: △ BQM = △ CMN (c.g.c) ⇒ QM = MN (2)
Xét △ CMN và △ DNP:
CN = DP (gt)
∠ C = ∠ D = 90 0
CM = DN (gt)
Do đó: △ CMN = △ DNP (c.g.c) ⇒ MN = NP (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: MN = NP = PQ = QM
nên tứ giác MNPQ là hình thoi
Vì AP = AQ nên △ APQ vuông cân tại A
BQ = BM nên △ BMQ vuông cân tại B
⇒ ∠ (AQP) = ∠ (BQM) = 45 0
∠ (AQP) + ∠ (PQM) + ∠ (BQM) = 180 0 (kề bù)
⇒ ∠ (PQM) = 180 0 - ( ∠ (AQP) + ∠ (BQM) )
= 180 0 - ( 45 0 + 45 0 ) = 90 0
Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông.
Ta có: M là trung điểm của BC
N là trung điểm của AC nên MN là đường trung bình của Δ ABC ⇒ MN = 1/2 AB
Ta có: P là trung điểm của AB nên MP là đường trung bình của △ ng bình của △ ABC ⇒ NP = 1/2 BC
Mà AB = BC = AC (gt) ⇒ MN = MP = NP. Vậy △ MNP đều
Xét △ ABC và △ BCD:
AB = BC (gt)
∠ B = ∠ C (gt)
BC = CD (gt)
Do đó: △ ABC = △ BCD (c.g.c)
⇒ AC = BD (1)
Xét △ BCD và △ CDE:
BC = CD (gt)
∠ C = ∠ D (gt)
CD = DE (gt)
Do đó: △ BCD = △ CDE (c.g.c) ⇒ BD = CE (2)
Xét △ CDE và △ DEA:
CD = DE (gt)
∠ D = ∠ E (gt)
DE = EA (gt)
Do đó: △ CDE = △ DEA (c.g.c) ⇒ CE = DA (3)
Xét △ DEA và △ EAB:
DE = EA (gt)
∠ E = ∠ A (gt)
EA = AB (gt)
Do đó: △ DEA = △ EAB (c.g.c) ⇒ DA = EB (4)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: AC = BD = CE = DA = EB
Trong △ ABC ta có RM là đường trung bình
⇒ RM = 1/2 AC (tính chất đường trung bình của tam giác)
Mặt khác, ta có: Trong Δ BCD ta có MN là đường trung bình
⇒ MN = 1/2 BD (tính chất đường trung bình của tam giác)
Trong △ CDE ta có NP là đường trung bình
⇒ NP = 1/2 CE (tính chất đường trung bình của tam giác)
Trong △ DEA ta có PQ là đường trung bình
⇒ PQ = 1/2 DA (tính chất đường trung bình của tam giác)
Trong △ EAB ta có QR là đường trung bình
⇒ QR = 1/2 EB (tính chất đường trung bình của tam giác)
Suy ra: MN = NP = PQ = QR = RM
Ta có: ∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = ∠ E = ((5-2 ). 180 0 )/5 = 108 0
△ DPN cân tại D
⇒ ∠ (DPN) = ∠ (DNP) = ( 180 0 - ∠ D )/2 = ( 180 0 - 108 0 )/2 = 36 0
△ CNM cân tại C
⇒ ∠ (CNM) = ∠ (CMN) = ( 180 0 - ∠ D )/2 = ( 180 0 - 108 0 )/2 = 36 0
∠ (ADN) + ∠ (PNM) + ∠ (CNM) = 180 0
⇒ ∠ (PNM) = 180 0 - ( ∠ (ADN) + ∠ (CNM) )
= 180 0 - ( 36 0 – 36 0 ) = 108 0
△ BMR cân tại B
⇒ ∠ (BMR) = ∠ (BRM) = ( 180 0 - ∠ B )/2 = ( 180 0 - 108 0 )/2 = 36 0
∠ (CMN) + ∠ (BRM) + ∠ (BMR) = 180 0
⇒ ∠ (NMR) = 180 0 - ( ∠ (CMN) + ∠ (BMR) )
= 180 0 - ( 36 0 – 36 0 ) = 108 0
△ ARQ cân tại A
⇒ ∠ (ARQ) = ∠ (AQR) = ( 180 0 - ∠ A )/2 = ( 180 0 - 108 0 )/2 = 36 0
∠ (BRM) + ∠ (MRQ) + ∠ (ARQ) = 180 0
⇒ ∠ (MRQ) = 180 0 - ( ∠ (BRM) + ∠ (ARQ) )
= 180 0 - ( 36 0 – 36 0 ) = 108 0
△ QEP cân tại E
⇒ ∠ (EQP) = ∠ (EPQ) = ( 180 0 - ∠ E )/2 = ( 180 0 - 108 0 )/2 = 36 0
∠ (AQR) + ∠ (RQP) + ∠ (EQP) = 180 0
⇒ ∠ (RQP) = 180 0 - ( ∠ (AQR) + ∠ (EQP) )
= 180 0 - ( 36 0 – 36 0 ) = 108 0
∠ (EQP) + ∠ (QPN) + ∠ (DPN) = 180 0
⇒ ∠ (QPN) = 180 0 - ( ∠ (EPQ) + ∠ (DPN) )
= 180 0 - ( 36 0 – 36 0 ) = 108 0
Suy ra : ∠ (PNM) = ∠ (NMR) = ∠ (MRQ) = ∠ (RQP) = ∠ (QPN)
Vậy MNPQR là ngũ giác đều.