Question

[Cô Hoàng Huyền]

Cho hình vuông $ABCD$. Qua $A$, vẽ cát tuyến bất kì cắt cạnh $BC$ và tia $DC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh rằng: 

\(\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AD^2}\).

Answer 1

[Phạm Thành Đông]

Vì ABCD là hình vuông (giả thiết).

\(\Rightarrow AB=BC=CD=DA\)(tính chất)

Và \(AB//CD\)(tính chất)  \(\Rightarrow AB//DF\).

Và \(AD//CE\)(tính chất) \(\Rightarrow CE//AD\)

\(AB//DF\)(chứng minh trên)

\(\frac{AB}{AE}=\frac{FC}{FE}\)(hệ quả của định lí Ta-lét)

\(\Rightarrow\frac{AD}{AE}=\frac{FC}{FE}\)(vì \(AB=AD\))

\(\Rightarrow\frac{AD^2}{AE^2}=\frac{FC^2}{FE^2}\left(1\right)\)

Vì \(AB//CF\)(giả thiết)

\(\Rightarrow\frac{BE}{CE}=\frac{AE}{FE}\)(hệ quả của định lí Ta-lét) (2)

\(\Rightarrow\frac{BE}{CE+BE}=\frac{AE}{FE+AE}\)(tính chất của tỉ lệ thức)

\(\Rightarrow\frac{BE}{BC}=\frac{AE}{AF}\)\(\Rightarrow\frac{BE}{AD}=\frac{AE}{AF}\)(vì \(AD=BC\))

\(\Rightarrow\frac{AD}{AF}=\frac{BE}{AE}\)(tính chất của tỉ lệ thức)

Từ (2) \(\Rightarrow\frac{BE}{AE}=\frac{CE}{FE}\)(tính chất của tỉ lệ thức)

Do đó \(\frac{AD}{AF}=\frac{CE}{FE}\Rightarrow\frac{AD^2}{AF^2}=\frac{CE^2}{FE^2}\left(3\right)\)

Từ (1) và (3)

\(\Rightarrow\frac{AD^2}{AE^2}+\frac{AD^2}{AF^2}=\frac{FC^2}{FE^2}+\frac{CE^2}{FE^2}\)

\(\Rightarrow AD^2\left(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}\right)=\frac{FC^2+CE^2}{FE^2}\)

Vì ABCD là hình vuông (giả thiết)

\(\Rightarrow BC\perp CD\)(tính chất)\(\Rightarrow EC\perp DF\)

Do đó \(\Delta CEF\)vuông tại C.

\(\Rightarrow CE^2+CF^2=EF^2\)(định lí Py-ta-go)

Do đó: \(AD^2\left(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}\right)=\frac{FE^2}{FE^2}=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{AD^2}\)(điều phải chứng minh).

Answer 2

[Phạm Thành Đông]